Hồ quang quý, chu văn lanh
đoàn hoài sơn, Mai văn lưu

Cơ sở

Quang tử học
(dành cho sinh viên và học viên cao học)

Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội


Cơ sở quang tử học

1

_________________________________________________________________

Chng 1

quang học của tia sáng
1.1. Các tiên đề của quang học tia sáng
Tiên đề 1.
Tia sáng truyền lan ở dạng tia (ray). Tia sáng được phát xạ từ
các nguồn ánh sáng (light source) và có thể quan sát được khi chúng
gặp đầu thu (detecter).
Tiên đề 2.
ánh sáng truyền trong môi trường quang học (optical
medium) đặc trưng bởi đại lượng

n 1
gọi là chiết suất (refractive index).


Hình 1.1 Quang trình tổng quát của tia sáng.
Thời gian ánh sáng cần để đi từ A đến B tỉ lệ thuận với độ dài
quang trình.
Tiên đề 4.
Nguyên lý Fermat (Fermats principle). Các tia ánh sáng
truyền giữa hai điểm A và B theo một quang trình xác định nào đó
trong một thời gian cần thiết, sao cho thời gian đó có tương quan cực
trị so với quang trình bên cạch. ý nghĩa của cực trị thể hiện ở chỗ tốc
độ thay đổi bằng không, tức là
B


0 n(r )ds



(1.2)

A

Cực trị có thể là cực tiểu và cực đại hoặc là một điểm uốn. Tuy
nhiên, thông thường cực trị là cực tiểu. Trong trường hợp này, chúng
ta có thể phát biểu:
Tia sáng truyền theo quang trình nào mất ít thời gian nhất, tức
là theo quang trình ngắn nhất.
Trong nhiều trường hợp, thời gian cực tiểu đó không chỉ tính
trong một quang trình xác định, mà có thể được tính theo nhiều
quang trình khác nhau. Các quang trình này nối tiếp nhau liên tục.
Hệ quả:

Nếu gương phản xạ có hệ số phản xạ thấp (lúc này mặt gương
phẳng gọi là mặt ngăn cách giữa hai môi trường, tương ứng có chiết
suất n1 và n2 ) thì một phần ánh sáng sẽ truyền vào môi trường sau
gương nếu n1 n2 . Đây gọi là hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Tia đi
vào môi trường sau gương gọi là tia khúc xạ. Hướng truyền của tia
khúc xạ tuân theo định luật Snell:

n1 sin 1 n2 sin 2 .

(1.3)

Từ hệ ) cho trước, hai phương trình đạo hàm riêng
có thể giải được cho hai quỹ đạo x( z ) và y ( z ) .
Trương trường hợp giới hạn, khi môi trường đồng nhất, tức là,
chiết suất n không phụ thuộc vào x và z, từ (1.15), chúng ta sẽ có
d 2 x / dz 2 0 và d 2 y / dz 2 0 , tức là x và y là hàm tuyến tính của z,
suy ra, quỹ đạo là đường thẳng.
1.3.3 Tấm GRIN
Một tấm GRIN có chiết suất n=n(y) và đồng nhất trên trục x và z,
nhưng thay đổi liên tục trên trục y như trên hình 1.12.

Hình 1.12 Khúc xạ trong tấm GRIN.
Ví dụ, một tấm GRIN có chiết suất thay đổi theo công tua parabol
như sau:

n2 y n02 1 2 y2
trong đó, là hệ số mô tả tốc độ thay đổi của chiết suất và độ dày
d


x
2 y
,
(1.17)
2
2
dz
dz
2 2
2 2
2
với giả thiết x y 1 , tức là chiết suất giảm chậm từ
trục.
Từ (1.17), thấy rằng x và y là hàm điều hòa theo z với chu kỳ
2 / . Vị trí ban đầu x0 , y0 và góc tại z là x 0 dx / dz và
y 0 dy / dz sẽ xác định biên độ và pha của các hàm điều hòa. Do có








Chương 1. Quang học của tia sáng
12
_______________________________________________________________________


qua nó. Một tia sáng được đặc trưng bởi hai tham số: góc lệch so với
trục của hệ và khoảng cách tới trục của hệ y (xem hình 1.14).
Với phép gần đúng cận trục, khi góc lệch của tia sáng so với trục
đủ nhỏ sao cho sin, hệ thức giữa tham số đầu vào và tham số đầu
ra được viết như sau:
y 2 Ay1 B1
(1.20)


Cơ sở quang tử học

13

_________________________________________________________________

2 Cy1 D1

(1.21)

trong đó, A, B, C, D là các số thực, xác định bởi cấu trúc của hệ
quang.

Hình 1.14 Một tia sáng đi vào hệ quang tại vị trí y1 và hướng
theo góc 1 và ra khỏi hệ tại vị trí y2 và hướng theo góc 2.
Phương trình (1.20) và (1.21) có thể viết dưới dạng ma trận sau
y2
y1 A B y1
M

(1.22)


(1.23)

* Khúc xạ trên biên phẳng
Tại một biên phẳng ngăn cách hai môi trường có chiết suất n1 và
n2, góc của tia sáng sẽ thay đổi theo định luật Snell. Trong gần đúng
cận trục, n sin n , còn vị trí của tia không đổi, y1 y2 , do đó, ma
trận truyền có dạng sau:
1
M 0



0
n1
n2

(1.24)

* Khúc xạ trên biên cầu
Sử dụng phương trình (1.8) với gần đúng y1 y2 , chúng ta có ma
trận truyền sau:
1
0

M n2 n1 n1
(1.25)
n R

n

Khi phản xạ trên gương phẳng, vị trí của tia không đổi, góc tia
cũng không đổi, do đó, ma trận truyền đơn giản như sau:
1 0
M

0 1

(1.27)

* Phản xạ trên gương cầu
Xem gương cầu như một thấu kính mỏng có tiêu cự f 2 / R ,
trong đó, R là bán kính cong, do đó, ma trận truyền có dạng sau:
1 0

M 2
(1.28)
R 1
trong đó, R <0 khi gương lõm và R > 0 khi gương lồi.
1.4.3 Ma trận của các hệ quang xếp tuần tự (Cascaded Component)
Một hệ quang bao gồm nhiều hệ quang thành phần (ví dụ gồm
khoảng môi trường đồng nhất với một gương, gồm hai thấu kính và
môi trường xen giữa, ) có ma trận truyền riêng M1, M2, , MN.
Tia sáng truyền qua hệ này giống như truyền qua một hệ độc lập có
ma trận sau:
M= MN M2M1

(1.29)

Tia sáng vào từ hệ M1 và ra từ hệ MN. Như vậy, hệ M1 sẽ có tác
động vào tia đầu tiên, sau đó theo thứ tự đến M2 , ... và MN có tác

A B
2

(1.32)

F 2 AD CB detM

(1.33)

Det[M] là định thức của ma trận M.
Hệ thức truy toán trên chỉ dùng để giải bằng máy tính, sau đây là
phương trình tính chính xác vị trí của tia sau khi đi qua hệ tuần hoàn

ym ymax sin(m 0 )

(1.34)
Để ym là hàm điều hòa, thì cos 1b phải là số thực. Điều này yêu
cầu điều kiện
b 1 hoặc

A B
2

1

(1.35)

trong đó,

0 cos1

khoảng d (hình 1.16). Như vậy, hệ quang đơn vị gồm một khoảng
không gian d và thấu kính. Hệ này có A=1, B=d, C=-1/f và D=1-d/f.
Tham số b= (A+D)/2=1-d/2f và giá trị định thức bằng 1. Điều
kiện ổn định tia b 1 hay 1 b 1 sẽ cho ta

0d 4f

(1.37)
tức là, khoảng cách giữa hai thấu kính phải nhỏ hơn bốn lần tiêu cự.
Với điều kiện này thì vị trí của tia tuân thủ hàm điều hòa sau:
d
ym ymax ( m 0 ), cos 1 (1
)
(1.38)
2f
Nếu d=2f, / 2 , khi đó chu kỳ lặp của quỹ đạo là / 2 1/ 4
(hình 1.17a). Do đó, quỹ đạo của một tia bất kỳ sẽ là một đường lặp


Chương 1. Quang học của tia sáng
18
_______________________________________________________________________

lại sau một chu kỳ 4 bước. Nếu d=f, thì / 2 1/ 6 và do đó, quỹ
đạo sẽ lặp lại sau 6 bước (hình 1.17b).

Hình 1.17 Ví dụ về ổn định của quỹ đạo của tia sáng trong hệ
nhiều thấu kính xếp đều nhau. a: d=2f, b:d=f .

Bằng cách tương tự, điều kiện ổn định của tia khi truyền qua hệ