Đ1
đề thi học sinh giỏi lớp 9
( Thời gian 150 phút )
Bài 1 : Cho a,b,c là các số dơng . Chứng minh :

2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ +
+ + +
Bài 2 : Cho các số x , y không âm thoả mãn x +y = 1. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của :

1 1
x y
P
y x
= +
+ +
Bài 3 : Cho biểu thức :
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x x x x
A
x x x x x x
+
=
+

2
2 . 2.
4 4 2
4
a b c a b c a
a
b c b c
a b c
a
b c
+ +
+ = =
+ +
+

+
( 1 điểm )
Tơng tự :
2
2
4
4
b a c
b
c a
c a b
c
a b
+


= = = =
+ + + + + +
Ta có
1 1
2 2 4
x y
xy xy
+
=
(1 điểm )
Đặt xy = t thì
1 2 2 6
0 ; 2
4 2 2
t
t A
t t

= = +
+ +
A nhỏ nhất
6
2t

+
nhỏ nhất
6
1
a
M


t nhỏ nhất

t = 0
0, 1
1, 0
x y
x y
= =



= =

Khi đó Max A = 1 (1 điểm )
Bài 3 : ( 6 điểm )
a. TXĐ :
2
0
x
x



<

(1 điểm )
+ Kết quả rút gọn :
2
2 2A x x=

4 3
3
cm
(2 điểm )

r
r
r
D
M
H
N
E
O
B
C
A
b. (3 điểm )Kẻ NH vuông góc với AB . Ta có
3
; ;
2 2 2
y y y
AH NH HM x= = =

Theo định lý Py - Ta - go ta có :
MN
2
= NH
2
+ HM

2
+ yz = xy + xz + yz + z
2


x
2
+ y
2
- xy = z
2

Đẳng thức này đã đợc chứng minh ở câu b.
Bài 5 : ( 2 điểm )
Đặt y = 1 - 2x
2


y + 2x
2
= 1 ( y

1 )
Ta có hệ phơng trình:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2

* Với y = x ; y

1 ( * ), ta có :
(1b)

2x
2
+x -1 = 0

x = 1 ; x = 1/2 thoả mãn (*)
- Với
1 2 1
;
2 2
x
y x

=
( ** ) ta có :
(1b)
2
1 5
4 2 1 0
4
x x x

= =
Thoả mãn (**)
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm .
..