SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018.

Câu 1. (5 điểm) Cho dãy số  un 

u1  1

thỏa mãn 
1
*
u

1


n


.
n

1

u

Chứng minh rằng:

n

P(0)  n P( y)  y.

Câu 4. (5 điểm) Cho 2018 số nguyên dương a1 , a2 ,..., a2018 và số nguyên a  1 sao cho
a chia hết cho a1.a2 .....a2018 . Chứng minh rằng: a 2019  a  1 không chia hết cho

 a  a1  1 a  a2  1 ... a  a2018  1

.

.............................HẾT................................


SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018.
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 6 trang)
Yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu
cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.



a) Chứng minh: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

ĐIỂM

5,0
điểm

2018

b) Chứng minh rằng:

u

2
k

 4036.

k 1

1a

2,5
điểm


Từ cách cho dãy số ta có: un  0, n  *
3


Theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra (u2 n1 ),(u2 n ) là các dãy hội tụ.
Giả sử lim u2 n  a ; lim u2 n1  b (a, b  1;2)
Do hàm f liên tục nên:
Từ u2 n1  f (u2 n )  lim u2 n1  lim f (u2 n )  b  f (a )

0,5

Từ u2 n 2  f (u2 n1 )  lim u2 n 2  lim f (u2 n1 )  a  f (b) .
1

b  1  1  a
Giải hệ phương trình 
ab 2 .
1
a  1 

1 b

0,5

Vậy lim un  2 .
2,5

1b

điểm
Từ giả thiết, ta thấy un  1, n  1 .

1 


Với mọi n lẻ ta có u

2
n 1

2

2  un2

 un  1

2

0,5

 2  un2 .

 un2  un21  4 .
2018

Do đó

 u  u
2
k

2
2
 u22    u32  u42   ...   u2017

a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh GH  AT .
b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC( P

nằm ngoài đoạn BC).

Đường tròn (O) cắt AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP
tại Q ( I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J. Chứng minh rằng:
đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định.
2a

2,5
điểm
A
L
E
M
H

F
G

I

O
D

B
K

J


0,5
0,5

Vậy H là trực tâm của tam giác AGT nên GH  AT .
2b

2,5
điểm
Gọi K là giao điểm của IJ với (O). Ta chứng minh K cố định. Thật vậy:

0,5

Gọi D là giao điểm của AH với BC, Gọi L là giao điểm của KD với (O)
( L khác K)
vì 
ADP  900 suy ra D thuộc đường tròn đường kính AP

0,5

  QAP
  QAI
  QKI
  QKJ

Ta có QDJ

0,5

suy ra tứ giác DKQJ nội tiếp

Vậy ta có 0  y  xi (i  1, n)
Theo định lý Bezout,ta có: P  x    x  x1  x  x2  ... x  xn  .
Vì n chẵn nên:
1,5

n

P  0    1 x1 x2 ....xn  x1 x2 ....xn  0

P  y    y  x1  y  x2  ... y  xn    x1  y  x2  y  ... xn  y   0

Ta cần chứng minh:
n

1,0

x1 x2 ...xn  y  n  x1  y  x2  y  ... xn  y 

Áp dụng BĐT Minkowski thứ II ta có:
n

x1 x2 ...xn  n  y  x1  y  y  x2  y  ... y  xn  y 

 n y n  n  x1  y  x2  y  ... xn  y   y  n  x1  y  x2  y  ... xn  y 

1,0

Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi x1  x2  ...  xn



Theo giả thiết  a1a2 ...an ; a  1  1 nên chỉ có duy nhất k  1; 2;...; a  1 thỏa
mãn (2) và dễ thấy k 

1,0

a
a1a2 ...an

Nếu k > 1 thì  k ; a   k  1 , mà VT 1  1 mod a  nên mâu thuẫn.

1,0

Do đó k = 1
Khi đó a  a1a2 ...an và a n1  a  1   a  a1  1 a  a2  1 ...  a  an  1
Từ đó suy ra

1,0

 a  a1  1 a  a2  1 ...  a  an  1  1 mod a    a1  1 a2  1 ...  an  1  1  a
Mặt khác  a1  1 a2  1 ...  an  1  1  a .
Dấu đẳng thức xảy ra khi n = 1 và a  a1
Khi đó a 2  a  1  2a  1  a  1 (vô lý). Bài toán được chứng minh.
Xét trường hợp n = 2018, ta có điều phải chứng minh cho bài toán.

1,0


SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH



.............................HẾT................................


SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ hai: 22/08/2018.

HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 5 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải
lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước
giải sau có liên quan. Ở câu 2 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm. Đối với điểm thành
phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của
từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài
Câu
1

Nội dung


Trong (1) thay y bởi –y và kết hợp (3) ta thu được

0,5

f ( x  y )  f(xy)  f(x)  f(y)  f(x) f(y) (4)


Cộng (1) và (3) theo vế, ta có f ( x  y )  f(x  y)  2f(x) với mọi x, y  

0,5

(5)
Trong (5) thay x=y và kết hợp f (0)  0 ta được f(2 x)  2 f(x)
Vậy (5) trở thành f ( x  y )  f(x  y)  f(2 x)

0,5

Đặt u  x  y , v  x  y ta có f (u)  f(v)  f(u  v) với mọi u, v  

0,5

Hay f ( x  y )  f(x)  f(y) với mọi x, y   (6)
Vậy f là hàm cộng tính trên 
Từ (4) và (6) suy ra f ( xy )  f(x)f(y) với mọi x, y   (7)

0,5

Vậy f là hàm nhân tính trên 
Từ đó ta được hàm số f :    thỏa mãn f (0)  0 và điều kiện (6), (7) là


A

H

E

X

N
F

Y
I
C
DJ M

B

2a

2,5 điểm
Xét tứ giác IEXC


A
0


(1)


  IXC
  900
Mặt khác IEC
Suy ra tứ giác ICXE nội tiếp.

0,5




  BAC  
XCY

XCI

FEI
Suy ra
(6)
2
2
Ta có B, C cố định kết hợp với (5) và (6) suy ra XY không đổi.

0,5


2b

4,5 điểm
Dựng đường thẳng d đi qua A song song với BC cắt EF tại K .

  ICJ

Từ tứ giác BCXY nội tiếp, suy ra NXY
  
  BID
  900  B  A  C  IAC
  ICA
  JIC

Mặt khác NIX

0,5

1,0

2

2 2
NX JB

(*)
Suy ra NIX  JIC 
NI
JI

3

Tương tự ta cũng có

NY JB

1

11

4

10

16

2

14

5

13

8

15

3

6

9

7
12


Từ đó

 b  B  B 1 B  2   B  n 1  (B 
i

i 1

n

n 1
) n và
2

1,5

n 1
ai  A  A  1    ( A  n  1)  ( A 
)n .

2
i 1
n

Suy ra

 (b  a )  n
i

i