Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 11: Chuỗi Fourier và phép biến đổi
Fourier rời rạc
Đỗ Tú Anh
[email protected]
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
2

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt



là số hữu tỷ

2π

ω0

ƒ Quan hệ giữa hàm sin thực và hàm sin phức
- Với C = C e

jθ

x [ n ] = Ce jω0n = C e j (ω0n+θ )
= C cos(ω0 n + θ ) + j C sin(ω0 n + θ )

- Với C = A

x [ n ] = A cos(ω0 n + θ ) = Re { Ae j (ω0n+θ ) }
=

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

A j (ω0n+θ ) − j (ω0n+θ )
(e
+e
)
2


- Ký hiệu tập này là

φk [ n ]

k= N

ƒ Các hàm sin phức điều hòa đó là vuông góc với nhau
vì

ƒ Chúng ta có thể kiểm chứng tính vuông góc sử dụng công thức
tổng hữu hạn

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chuỗi Fourier
ƒ Cặp biến đổi chuỗi Fourier

ƒ Cặp biến đổi chuỗi Fourier

là tuần hoàn với chu kỳ N

ƒ Không cần xét sự hội tụ: các tổng luôn là hữu hạn

9

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chuỗi Fourier: Ví dụ 1
ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu

-Tần số cơ bản
- Chu kỳ


Chuỗi Fourier: Ví dụ 2
ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu

- Chu kỳ N = 4, khoảng của k: <N> = {0,1,2,3}
- Các hệ số chuỗi F rời rạc

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

12
https://fb.com/tailieudientucntt


Chuỗi Fourier: Ví dụ 2
ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu

ƒ Khôi phục

từ các hệ số chuỗi F rời rạc

13

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
16

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
ƒ Xét dãy không tuần hoàn hữu hạn, x[n], sao cho x[n] = 0 ở ngoài
khoảng
ƒ Tạo một dãy tuần hoàn
một chu kỳ

với chu kỳ N trong đó x[n] là

… chúng ta sẽ xây dựng biến đổi Fourier dựa trên chuỗi Fourier
của một tín hiệu gián đoạn với chu kỳ tiến đến vô cùng
17

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt



ƒ Khi
- Tổng trên N khoảng với độ rộng

trở thành tích

phân với khoảng lấy tích phân có độ rộng là 2π
ƒ Phương trình trên trở thành

x [ n] =

1
2π

∫2π

X (e jω )e jω n d ω
19

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
ƒ Cặp biến đổi Fourier rời rạc

x [ n] =

https://fb.com/tailieudientucntt


Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
21

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
ƒ Xét dãy hàm mũ
- Tính biến đổi Fourier rời rạc sử dụng chuỗi hình học

- Vì

nên có thể viết


Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
ƒ Biên độ và pha của

với a < 0

ƒ Chú ý:
- Biên độ và pha là tuần hoàn với chu kỳ 2π
- Khi a < 0 phổ là thông cao – biên độ tăng dần khi tần số tăng từ ω = 0
đến ω = π
EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

24


Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 2
ƒ Xét dãy xung chữ nhật

⎧1,
x [ n] = ⎨
⎩0,

n ≤ N1
n > N1

ƒ Biến đổi Fourier