GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN
•
•
•
•
•

CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT
CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY
THỪA

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
•
•
•
•
•
•
•

§1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
§2: Đạo hàm riêng
§3: Khả vi và Vi phân

x2

( x, y ) R 2 : x 2

y2

9

MXĐ là hình tròn D
MGT là đoạn [0,3]

MXĐ

y2

3
f(x,y)

3

0

3

(x,y)
MGT
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong.
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Hình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệu
B(M0,r) là tập

B(M0 , r )
( x, y )

M
2

2

R : d (M , M 0 )

R : (x

2

x0 )

(y

r
2


§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Định lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khi
tồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞
thìd(Mn,M) →0
• Chú ý :
1. Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, còn
điểm biên của D thì có thể không thuộc D.
2. Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thì
có thể không là điểm biên

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên
của nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của D

Tập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó,
mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất
kỳ điểm biên nào
Tập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trong
một hình cầu nào đó, tức là r : D B(O, r )
Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên mà
không chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở,
không đóng.
CuuDuongThanCong.com



§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Ví dụ : Trong R2 cho miền D
D
( x, y ) R 2 : x y
Biên của D là 3 đoạn OA,
OB, AB. Miền D không
chứa đoạn AB tức là D
không chứa mọi điểm biên
nên D không là tập đóng.

3, x

0, y

0

B B

O
A
Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm
biên thuộc đoạn OA, OB
Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại
tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán
kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình
cầu mở
CuuDuongThanCong.com



(y
M

M0

x

x0

y

y0

a

Lưu ý: Định nghĩa trên tương tự như giới hạn của
hàm f(x), khi M dần đến M0 (không trùng M0), nếu f(M)
dần về a thì ta cũng nói giới hạn của f(M) bằng a
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Một cách đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàm
cho riêng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sau

Khi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L,
mà hàm f(M) luôn dần về 1 giá trị a thì ta cũng có


xy 2
lim
( x ,y ) (0,0) x 2
y2

Giải :
Ta dùng định lý kẹp như khi
tính giới hạn hàm 1 biến:

0

xy 2
x2 y 2

Suy ra giới hạn cần tìm
bằng 0
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

0

2y


§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

sin( xy )
lim

xy

x2 y 2
Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x
( x ,y ) (0,0)

Ta được

lim

( x ,y ) (0,0) / y

x2
2
x
2x

1
v?
2

lim

( x ,y ) (0,0) / y

2x 2
2
2x
5x


b

Ta có các kết quả sau khi x→x0, y→y0

1. lim(f(x,y)+g(x,y)=a+b
2. lim f(x,y).g(x,y) = a.b
3. lim C.f(x,y) = C.a
f(x,y)
4. lim
g(x,y)
CuuDuongThanCong.com

a
,b
b

0
https://fb.com/tailieudientucntt


§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục
Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0)
lim f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )
nếu f (x0,y0) xác định và
( x ,y ) ( x0 ,y 0 )

Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc miền D
Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục


Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y)
theo biến x, ta coi y là hằng số
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


§2 : Đạo hàm riêng
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm sau:
a. f(x,y)= x 2 y 2
cos

b. f(x,y)=e

x
y
y

c. f(x,y,z)=ln(x+e )
Giải :

a. fx

b. fx

c. fx

cos

e

cos

e

x
y

y2

x
x
( s in )( 2 )
y
y

ey
y
x e

xz, fz

https://fb.com/tailieudientucntt

xy


§2 : Đạo hàm riêng
Ví dụ : Cho hàm f ( x, y )

3


§2 : Đạo hàm riêng
Ví dụ : Tính các đhr của hàm f(x,y,z) = (y/x)z
Giải: Ta tính 3 đhr của hàm 3 biến
Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại
f(x,y,z) = yz.x-z

rồi tính đạo hàm bình thường
Lấy đhr theo x: yz, z là hằng số nên: f’x = yz.(-z)x-z-1
Tương tự: f’y = zyz-1x-z

Cuối cùng, tính đhr theo z thì ta sẽ để nguyên hàm
ban đầu vì y/x là hằng số nên : f’z = (y/x)zln(y/z)
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


§2 : Đạo hàm riêng
Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm f(x,y)
tại (a,b):
Gọi S là mặt cong z=f(x,y)
C1 là giao của S và mặt
phẳng y = b thì đạo hàm
fx’(a,b) là hệ số góc của
tiếp tuyến T1 hay là hệ số
góc của mặt S theo
phương Ox tại P(a,b,c)
Tương tự, hệ số góc của tiếp tuyến T2 tức là hệ số
góc của mặt S theo phương Oy là f’y(a,b)

( x0 , y 0 ) fx (fy )( x0 , y 0 )
2 hỗn hợp:
y x

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


§2 : Đạo hàm riêng
Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàm
riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liên tục trong miền mở
chứa (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0)
Ghi chú :
1. Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý
Schwartz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàm
2. Định lý Schwartz còn đúng cho các đạo hàm riêng
từ cấp 3 trở lên. Tức là các đạo hàm riêng hỗn
hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi
biến bằng nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự
lấy đạo hàm theo các biến
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt