Phần I: Giới thiệu đề tài
Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện cho học sinh dự thi tốt nghiệp, thi chọn học
viên giỏi Bổ túc THPT các cấp cũng nh thi Đại học - Cao đẳng, bản thân tôi nhận thấy học
sinh gặp không ít khó khăn khi giải bài tập hình học không gian. Đặc biệt là các bài toán
chứng minh quan hệ song song, vuông góc, các bài toán tính khoảng cách, xác định góc,
tính diện tích của các hình, thể tích các khối. Nhất là đối với học viên khối 12 - Bổ túc
Trung học phổ thông lại càng khó khăn hơn, do khả năng t duy tởng tợng hình không gian
của học viên còn hạn chế. Trong khi đó, rất nhiều bài toán của chơng trình GDTX cấp
THPT, khi biết cách sử dụng phơng pháp tọa độ thì bài toán có thể đợc giải quyết một cách
đơn giản hơn. Vì phơng pháp toạ độ có thể đợc xem nh một phơng pháp đại số hoá bài toán
hình học. Bằng phơng pháp này, học viên chủ yếu làm việc với các con số, không cần t duy
hình học nhiều và gây hứng thú cho học viên khi giải các bài toán này.
Vì lý do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài Dùng phơng pháp tọa độ để giải bài toán
hình học không gian, với hy vọng cung cấp thêm một phơng pháp giải toán cho học viên.
Và qua thực tế kiểm nghiệm cũng đã chứng minh đợc đề tài này áp dụng có hiệu quả.
Phần II: nội dung đề tài
i- Cơ sở khoa học
1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian
và các kién thức liên quan.
* Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 3 trục Ox,
Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với
, ,i j k
r r r
là
các véc tơ đơn vị tơng ứng ở trên các trục Ox, Oy, Oz.
*
u . 0v u v =
r r r r
*
[ ]
, 0u kv u v= =

u u
u u
=
r ur
r ur
với
u
r
,
'u
ur
lần lợt là các véctơ chỉ phơng của
, '
- Góc

giữa đờng thẳng

và
( )mp

1
.
sin
.
u n
u n

=
r r
r r

r ur
lần lợt là véctơ pháp tuyến của
( )mp

và
( )mp

.
* Các công thức tính khoảng cách:
- Khoảng cách từ 1 điểm M(x
0
, y
0
, z
0
) đến
( )mp

: Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ;( ))
Ax By Cz D
d M
A B C

+ + +
=
+ +
- Khoảng cách từ 1 điểm M
=uuuuuur
r ur
r ur

với
u
r
,
'u
ur
lần lợt là véc tơ chỉ phơng của
, '
;
M
0
, M
0

lần lợt là các điểm nằm trên
, '
* Phơng trình mặt phẳng (phơng trình tổng quát, phơng trình tham số, phơng trình đoạn
chắn)
* Phơng trình đờng thẳng.
2. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phơng pháp tọa độ:
Đó là những bài toán liên quan đến:

A(0;0;0) ; B(0;a;0); C(a;a;0); D(a;0;0)
A(0;0;a) ; B(0;a;a); C(a;a;a); D(a;0;a)
( ;0; ); (0; ; )
2 2
a a
I a J a
Suy ra
( ; ; )
2 2
a a
IJ a=
uur
,
' ( ; ; )AC a a a=
uuuur
. ' . . .
2 2
a a
IJ AC a a a a= +
uur uuuur
= 0
Vậy
'IJ AC

b) Để chứng minh
' ( ' ' )D B A C D
:
Cách 1: Ta chứng minh
' ' '; ' 'D B A C D B A D
Ta có:

= = = =
ữ
uuuuur uuuur
uuuuur uuuur
Mặt phẳng (ACD) có véctơ pháp tuyến
2
1
' ', ' ( 1;1; 1)n A C A D
a

= =

r uuuuuruuuur
Đờng thẳng DB có véctơ chỉ phơng
1
. ' ( 1;1; 1)u D B
a
= =
r uuuur
Suy ra
n u=
r r
nên đờng thẳng DB


Có thể nhận xét:
. ' 0 ( , ' )
2
IJ A D IJ A D

= =
uur uuuur
Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng giao điểm của đờng chéo AC và mp (ABD) là trọng tâm tam giác
ABD.
b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (ABD) và mp (CBD).
c)Tìm góc tạo bởi hai mp (DAC) và mp (ABBA).
Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài).
3
Khi đó: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C(a;a;0) ; D(0;a;0);
A(0;0;a); B(a;0;a); C(a;a;a) ; D(0;a;a)
a) Ta có:
' ( ; ; )A C a a a=
uuuur

Đờng thẳng AC có véc tơ chỉ phơng:
1
. ' (1;1; 1)u A C
a
= =
r uuuur

Đờng thẳng AC có phơng trình tham số là: x = t;
y = t; z = a - t (1)


Mặt phẳng (ABD) có phơng trình là x + y - z = 0. (2)
Từ (1) và (2)

giao điểm G của AC và (ABD) là
2
( ; ; )
3 3 3
a a a
G
.
Mặt khác nếu G là trọng tâm tam giác ABD thì
2
'( ; ; )
3 3 3
a a a
G
Tức là
'G G
. Vậy G là trọng tâm tam giác ABD.
b)Phơng trình mp(CBD) là x + y - z - a = 0
Suy ra mp(CBD)//mp(ABD)
Do đó khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ G tới (CBD) và bằng :
2 2 2
2
3
3 3 3
3
3
1 1 1
a a a

O ; A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; D(0;a;0); A(0;0;a) ; D(0;a;a); M(a;
2
a
;0); N(0;a;
2
a
)
4
a) mp(ABD) có véctơ pháp tuyến
(1;1;1)n
r
;
mặt khác
( ; ; )
2 2
a a
MN a
uuuur

. 0
2 2
a a
n MN a= + + =
r uuuur

n MN
r uuuur
Hay MN//mp(ABD).
b) Mặt phẳng (A
/

b) Tính thể tích tứ diện ABDC.
Lời giải:
a) Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Axyz nh hình vẽ
Khi đó ta có:
A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C( 2a;a;0) ; D(2a;0;0);
A(0;0;a); B(0;a;a)
C(2a;a;a) ; D (2a;0;a). Vì M

AD thoả
mãn
3
AM
MD
=
3
( ;0;0)
2
a
M
Mp(ABC) có phơng trình: x- 2y + 2z = 0. Do đó
khoảng cách từ M đến mp(ABC) là:
3. 2.0 2.0
2
( , ( ' ))
2
1 4 4
a
a
d M AB C
+

uuuur uuuur uuur
5