BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THÙY NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 01. 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 1: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI
Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27
tháng 6 năm 2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng




2
chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp
xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại
hoặc tìm giới hạn của dãy số.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu
về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ
thống lại kiến thức.
Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình
bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.
5. Bố cục đề tài
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số
Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc
tìm giới hạn của dãy số
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên
quan đến Dãy số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng,
nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên
cứu về Dãy số.
Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa
nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.


3

1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số
M sao cho: n 

*

, un  M .

Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một
số m sao cho: n 

*

, un  m .

Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên,
vừa bị chặn dưới. Nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho:

n 

*

,m  un  M .


4
1.3. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU
Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng (tương ứng tăng nghiêm
ngặt) nếu với mọi


un  un 1

(tương ứng

).

Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu.
1.4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy  un  được gọi là cấp số cộng khi và
chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng
đứng trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi được gọi là
công sai của cấp số cộng.
Tính chất 1.4.1.[3]
a. Công thức của số hạng tổng quát:

un  u1  (n  1)d , n 

b. un 1 

un  u n  2
, n 
2

*

*

.

.

1 q
1.5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN
QUAN
Định nghĩa.[4] Dãy số  un    u1 , u2 ,..., un ,... có giới hạn là
Sn  u1  u2  ...  un  u1

số (điểm) a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng un đều
nằm trong  -lân cận bất kì U  a,   của điểm a , tức là ở ngoài

U  a,   hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng

nào của dãy.
Kí hiệu: lim un  a hay un  a khi n   .
n 

Định lí 1.5.1.[4]
Nếu dãy ( un ) có giới hạn thì nó bị chặn.
Định lí 1.5.2.[4]
Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
Định lí 1.5.3.[4]
Nếu lim un  a , lim vn  b và un  vn , n 
n 

n 

Định lí 1.5.4.[4] (Giới hạn kẹp) Giả sử:
a. lim un  lim vn   ;
n 

n 


n 

b. lim(un vn )  lim un lim vn  ab ;
n 

n 

n 

c. Nếu un  0, n và lim un  0 thì lim
n 

n 

1
1
1

 .
un lim un a
n 


7
CHƢƠNG II
XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
2.1. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ
Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật

bậc k theo n .

, f (n) là một đa thức

Phƣơng pháp giải.
Ta phân tích f (n)  g (n)  ag (n  1) với g (n) cũng là một đa
thức theo n .


8
Trường hợp 1: Nếu a  1 , ta thấy đa thức g (n)  ag (n  1) có
bậc nhỏ hơn đa thức g (n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự
do

của

g ( n) .

Vì

f(n)

là

đa

thức

bậc


Phƣơng pháp giải.
Trường hợp 1: Nếu a   .
 

Ta phân tích:  n  k n  ak n1   k 
.
  a 

Khi đó ta có:
un  bk n  a(un1  kb n1 )  ...  an1 (u1  bk );
 un  an1 (u1  bk )  bk n .
Trường hợp 2: Nếu a  
Ta phân tích:  n  n n   (n  1) n1 .
Khi đó:


9
un  bn n    un 1  b(n  1) n 1   ...   n 1 (u1  b );
 un  b(n  1) n  u1 n 1.
2.2. DÙNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các

công thức lượng giác thì ta có thể thử với phép thế lượng giác. Ta xét
một số bài toán sau:
Bài toán 2.2.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un 

u1  k
xác định bởi: 
với k  , n  2 .


 , n  2.



10
Bài toán 2.2.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un 

u1  k
xác định bởi: 
với k  , n  2 .
3

un  4u n 1  3un 1

Phƣơng pháp giải.
Trường hợp 1: k  1 .
Khi đó  0;  : cos   k  u1 . Từ công thức truy hồi của
dãy ta có thể liên tưởng đến công thức nhân ba của hàm số côsin:
cos3  4cos3   3cos .

Ta có:

u2  4u13  3u1  cos3 ;
u3  4u23  3u2  cos9 ;
u4  4u33  3u3  cos 27 ;

…
Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được un  cos3n1 .
Trường hợp 2: k  1.

11
Bài toán 2.2.4. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u1  

định bởi: 
với n  2,  1, ab  2 .
2
a
un  a  bun 1

Phƣơng pháp giải.
Đặt:
u1    a cos;
Bằng qui nạp ta chứng minh được un  a cos 2n1 , n  2 .
2.3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
TÍNH VÀO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG
QUÁT CỦA DÃY SỐ
Ở đây tôi chỉ trình bày ứng dụng của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một và cấp hai trong một số dạng bài toán xác định
công thức tổng quát của dãy số (chỉ nêu phương pháp giải mà không
chứng minh).
Định nghĩa 2.3.1.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là
phương trình dạng: u1   ,au n1  bun  f n , n 

*

; 1

Trong đó a, b, là các hằng số, a  0 và f n là biểu thức của
n cho trước.

 a
 a
 a
Bài toán 2.3.2. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác định

u1  
bởi: 
với n  1 , f (n) là đa thức bậc k của n .
aun 1  bun  f (n)

Phƣơng pháp giải.
b
Xét phương trình đặc trưng: a  b  0     .
a
Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định

un  c n1  un* .
Trong đó un* được xác định như sau:
+ Nếu a  b  0 thì un*  g (n) , thay vào phương trình ta được:
ag (n  1)  bg (n)  f (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được un* .

+ Nếu a  b  0 thì un*  n.g (n) , thay vào phương trình ta
được: a(n  1) g (n  1)  bng (n)  f (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được

un* .
Với g (n) là đa thức bậc k của n và c là hằng số được xác định
dựa vào u1 .
Bài toán 2.3.3. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác định

u1  

d
 A


.
a(n  1)  bn a(n  1)  a n a
dn n 1
.
a
Với c là hằng số sẽ được xác định dựa vào u1 .

Vậy un* 

Định nghĩa 2.3.2.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là
phương trình dạng:

u1   ,u 2   ,au n2  bun1  cun  gn , n 

*

;

 2

trong đó a, b,c, ,  là các hằng số, a  0 và g n là biểu thức
của n cho trước.
Phƣơng pháp giải.
Bước 1: Tìm nghiệm un của phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng: aun 2  bun1  cun  0;
Bước 2: Tìm một nghiệm riêng un* của phương trình không

1  2   thì số hạng tổng quát của dãy có dạng
un  (c1  c2 n) n ; trong đó c1 , c2 được xác định khi biết u1 , u2 .

kép

Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức

  x  iy thì   x  iy cũng là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Ta đặt:   r  cos  i sin   ;
Vậy số hạng tổng quát của dãy là un  r n (c1 cos n  c2 sin n ) ;
trong đó c1 , c2 được xác định khi biết u1 , u2 .
Bài toán 2.3.5. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác

u1   , u2  
định bởi: 
với n  1 .
n

aun  2  bun 1  cun  dq

Phƣơng pháp giải.
Giải phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 tìm nghiệm.
Ta có số hạng tổng quát của dãy là un  un  un* ; trong đó:
un là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với c1 , c2 chưa được xác định.

un* được xác định như sau:
+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  q và 2  q
thì un*  kq n , thay vào phương trình ta được:


Từ hệ thức un  un  un* ta tìm được c1 , c2 khi biết u1 , u2 .
Bài toán 2.3.6. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u1   , u2  
định bởi: 
, n  1 , f (n) là đa thức bậc k
aun  2  bun 1  cun  f (n)

theo n .
Phƣơng pháp giải.
Giải phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 tìm nghiệm.
Ta có số hạng tổng quát của dãy có dạng un  un  un* ; trong
đó:
un là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với c1 , c2 chưa được xác định.

un* được xác định như sau:
+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  1 và 2  1 thì

u  g ( n) .
*
n

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  1 hoặc 2  1
thì u  ng (n) .
*
n



X n  AX n1  ...  An X 0 .
Như vậy bài toán sẽ được giải quyết khi ta xác định được An .
Bài toán 2.4.2. Xác định số hạng tổng quát của các dãy
 xn  ,  yn  và  zn  thỏa mãn:
 x0   , y0   , z0  

 xn 1  a1 xn  b1 yn  c1 zn
,n

 yn 1  a2 xn  b2 yn  c2 zn
 zn 1  a3 xn  b3 yn  c3 zn

*

.

Phƣơng pháp giải.
 a1 b1 c1 
 xn 


Đặt A   a2 b2 c2  , X n   yn  . Khi đó ta được:
 a3 b3 c3 
 zn 
X n  AX n1  ...  An X 0 .


17
2.5. PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG
THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ


;

1
 1  x  x 2  x3  ... ;
1 x
1
e/
 1  2ax  3a 2 x 2  4a3 x3  ... ;
(1  ax)2
1
f/
 1  x r  x 2 r  x3r  ... ;
1  xr
1
g/
 1  x r  x 2 r  x3r  ...
1  xr
Ứng dụng hàm sinh vào xác định công thức tổng quát của

d/

dãy số
Xét một vài bài toán sau:
Bài toán 2.5.1. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u0  a, u1  b
định bởi: 
với n  0 .
un  2  pun 1  qun


A
B
 G ( x) 

 A ( x)n  B (  x) n .
1 x 1  x
n 0
n 0
Do đó hệ số của x n trong khai triển của G( x) là A n  B n
nên: un  A n  B n , n  0 .
Trường hợp 2: Nếu   :1  px  qx2  (1   x)2 :
(u  pu0 ) x  u0
A
B
Do đó G( x)  1
;


2
(1   x)
1   x (1   x) 2
Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được A, B .


A
B
n
 G ( x) 




1     i  x  1     i  x  1  (   i) x 1  (   i) x

Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được A, B .
 G ( x) 



A
B

 A[(   i) x]n  B[(   i) x]n
1  (   i) x 1  (   i) x
n 0
n 0

Do đó hệ số của x n trong khai triển của G( x) là

A(   i)n  B(   i)n nên: un  A(   i)n  B(   i)n , n  0 .
Ta có thể chuyển    i về dạng lượng giác r (cos  i sin  )
để dễ tính lũy thừa.
Bài toán 2.5.2. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u0  a, u1  b
định bởi: 
với n  0 , f (n) là một biểu
un  2  pun 1  qun  f (n)
thức theo n .
Phương pháp sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát

của dãy số có dạng đã cho tương tự như bài toán ở trên.

tồn

tại

số

thực

0  q 1

sao

cho

f ( x)  f ( y)  q x  y , x, y  D .

Định lý. Nếu f ( x) là 1 hàm số co trên D thì dãy số (x n ) xác
định bởi x0  a  D, xn1  f ( xn ) hội tụ. Giới hạn của dãy số là
nghiệm duy nhất trên D của phương trình x  f ( x) .
Phương pháp này thường dùng đối với dạng bài toán:
u1  a
, n 
Cho dãy số thực (un ) xác định bởi 
un 1  f (un )

*

.



3.5. SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP
Kết hợp giữa việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử
dụng nguyên lý kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số
cho bởi hệ thức truy hồi. Sử dụng phương pháp này ta có thể đưa bài
toán tìm giới hạn của dãy đã cho về bài toán tìm giới hạn của những
dãy đơn giản hơn.


22
3.6. DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO
Định lý trung bình Cesaro. Nếu dãy số  un  có giới hạn hữu
 u  u  ...  un 
hạn là a thì dãy số các trung bình cộng  1 2
 cũng có
n


giới hạn là a .

Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:
u
Nếu lim  un1  un   a thì lim n  a .
n
n  n
Định lý Stolz . Cho 2 dãy  un  ,  vn  thỏa mãn:
i/  vn  tăng thực sự đến  ;
u  un 1
ii/ lim n
a;
n  v  v

có


a

f ( x)dx  lim

d 0

n

 f ( )( x  x
i

i 1

i

i 1 ) .

Trong đó d  max( xi  xi 1 ) .
1i  n


23
Như vậy, để tính giới hạn của một tổng dựa vào định nghĩa
tích phân ta có thể làm như sau:
Xét hàm f ( x) xác định trên đoạn  a; b ;

Chia đoạn  a; b thành n đoạn bằng nhau, giới hạn bởi (n  1)


i 1

f (i )( xi  xi 1 ) 

n 

n

i 1
b



ba
.
n 

a

3.8. PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Nội dung chính của phương pháp này là lựa chọn dãy phù hợp
nhằm áp dụng công thức tích phân từng phần để tìm ra quy luật của
dãy. Từ đó tính giới hạn theo yêu cầu của đề bài.