ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
*

LÊ NGUYỄN HẠNH VY

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM
VÀ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU
CÁC BÀI TOÁN VỀ DÂN SỐ
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016


CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ XUÂN ĐẠI
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Nguyễn Bá Thi
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS. TS. Nguyễn Văn Kính
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa - Đại Học Quốc Gia
Tp. Hồ Chí Minh ngày...08..tháng...01...năm...2017...
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)
1. PGS. TS. Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch hội đồng.....................................................
2. TS. Nguyễn Bá Thi - Phản biện 1............................................................................

về
dân
số
1991
Họ và tên học viên:
LÊ NGUYỄN HẠNH VY
MSHV: 13241382
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phương pháp hàm Lyapunov ương bài
toán dân số.
II.

NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 08 năm 2016

III.

NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 12 năm 2016.

IV.

HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. LÊ XUÂN ĐẠI

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông
qua.
Tp. HCM, ngày .15..tháng.. 12...năm 2016

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS. Lê Xuân Đại

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN

2


TÓM TĂT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Nghiên cứu tính ổn định của phương pháp hàm Lyapunov trong phương trình vi phân có chậm.
2. ứng dụng vào mô hình phát triển ổn định trong bài toán dân số.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu được sử dụng trong luận văn là dựa trên phương pháp hàm
Lyapunov và sử dụng phần mềm Matlab, Maple.
Kết quả thu được ở đây là:
1. Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân có chậm thông qua hàm Lypunov.
2. Khảo sát tính ổn định của mô hình Lotka-Volterra có chậm đơn và có chậm kép.
3. Mô phỏng quĩ đạo nghiệm cho bài toán Lotka-Volterra trong mặt phẳng Pha.

ABSTRACT THESIS
In our thesis, we study some problems:
1. The stability of Lyapunov function method for delay differential equations.
2. The application for the stable development models in the population problem .
The main method to study in the thesis based on Lyapunov function method and using Matlab and
Maple.
We obtained some results:
1. The stable criterion of delay differential equations through Lyapunov function.
2. To study the stability of the Lotka-Volterra model, which include the single delay model and two
delays model.
3. To simulate the orbit solution for Lotka-Volterra problem in the Phase plane.


Lời cam đoan
Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã tham khảo những tài liệu trong mục tài liệu tham khảo
và các tài liệu này có nguồn gốc rõ ràng, tôi không sao chép luận văn của bất kì ai khác. Tôi cam đoan rằng:

- [5] Yang Kuang*, Edoardo Berrtta , Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator- Prey
Sytem, Received July 25, 1995 .


Đầu thế kỷ 20, mô hình toán về biến động dân số được thiết lập trên mô hình Lotka - Volterra và nhiều mô
hình sinh thái học quan trọng khác.
Luận văn này tập trung nghiên cứu về phương trình vi phân có chậm thông qua việc nghiên cứu
tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận toàn cục dựa trên định lý hàm Lyapunov bằng phương pháp
định tính để ứng dụng vào mô hình dân số. Trong luận văn, chúng ta sử dụng phần mềm Maple để tính các
thông số cần thiết cho mô hình, sau đó ta đưa thông số cần tính vào phần mềm mô phỏng Matlab thông qua
việc lập code. Kết quả thu được là quĩ đạo nghiệm và biểu đồ phase của mô hình. Nó cho ta thấy được mức
độ tăng trưởng dân số phụ thuộc vào thời gian có chậm. Ngoài ra, mô hình này quan trọng trong việc đưa
vào ứng dụng trong thực tiễn: nó thể hiện sự tăng trưởng của từng loài khi không có và có thời gian có
chậm, và tạo ra nhiều bước phát triển mới cho các ngành khoa học khác.
Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, phụ lục và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn được trình
bày như sau:
Lời nói đầu.
Chương 1: Kiến thức cơ bản về phương trình vi phân có chậm.
Chương 2: Phương pháp Lyapunov đối với phương trình vi phân có chậm.
Chương 3: ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải các bài toán mô hình phát triển ổn định
dân số.
Phụ lục.
Kết luận và hướng phát triển.
Tài liệu tham khảo.


Muc luc
Lời mở đầu
1


2.4 Tính ổn định Lyapunov trong phương trình vi phân có chậm............................................ 18
2.4.1

Định

nghĩa cơ bản về tính ổn định .......................................................................... 18

2.4.2

Định

nghĩa cơ bản về tính ổn định

2.4.3

Định

lý về tính ổn định Lyapunov........................................................................... 19

Lyapunov.................................................... 19

2.5 Tính ổn định toàn cục cho mô hình nhiều loài.................................................................... 23
2.6 Tính ổn định theo hàm Lyapunov........................................................................................ 23

3

Ung dụng phương trình vi phân có chậm giải các bài toán mô hình phát
triển ổn định dân số

28


63


Bảng ký hiệu
Ký hiệu

Ý nghĩa

PTVP

Phương trình vi phân

PTVPT

Phương trình vi phân thường

PTVPGG

Phương trình vi phân có chậm
Tập các số thực không âm.
Không gian Euclid n chiều với chuẩn ||.|| và tích vô hướng

Tập các hàm liên tục trên [a,b] và nhận giá trị trong Kn.
Đạo hàm trên, bên phải theo t của hàm V(t, (/)) dọc theo nghiệm của
V
PTVPCC
lim
supa:(t)
t- ->oo

hiệu: c = Co([—r, 0], Rn)
f : Q —>

là hàm cho trước, với Q c R X c.


Luận văn cao học

Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm:

Khi đó, bài toán giá trị ban đầu là :
x(t) = f(t,xt), t>tữ, xữ = x(tữ + ớ) = (f)(0) trong đó, (f)(0) E c biểu
diễn trạng thái ban đầu hoặc trạng thái dữ liệu gốc.

1.3 Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm
Nghiệm PTVPCC không được xác định bởi trạng thái ban đầu của nó tại một thời điểm nào
đó, mà trạng thái ban đầu được xác định là một hàm số liên tục trên đoạn [—T, 0].
Và cách tốt nhất để biết được là ta đi xét PTVP tuyến tính bậc 1. Ta xét bài toán giá trị ban đầu
bậc 1 như sau:
= kx, x(0) = 1

(1.3)

x(t) = exp(kt)

(1.4)

có nghiệm là

Theo quy luật thì việc xét tại x(0) = 1 cho phép ta có thể dự toán ở bất kỳ thời điểm t nào. Tuy nhiên,

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

Sự biến động về dân số

Điều kiện đầu thỏa nếu CƠT = hay CƠT = với điều kiện thứ 2, ta có được:
U)T = — và kr = ——
2
2
37T
37T
CUT = — và KT = —
2
2
Đối với giá trị đặc biệt của kr, PTVPCC (1.5) nhận nghiệm tuần hoàn (1.6).

1.3.2

Nghiệm trong khoảng thời gian ngắn:

Sự khác biệt giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân có chậm là điều kiện
ban đầu. Đối với phương trình vi phân có chậm, ta không chỉ cung cấp giá trị ban đầu, mà nghiệm xữ(t')
tại những thời điểm trước điểm ban đầu.
Xét trường hợp k = — 1 và T = Xo = 1. ta giải phương trình (1.5) trên đoạn hữu hạn [0, T].
Khi đó, (1.5) trở thành:
±(t) = — xịt — 1),
Ta giải với a?(0) = 1 . Nghiệm là:
xịt) = 1 — t, 0 < i < 1


Hình 1.2: Sự phát triển của Paramecium aurelia trong ống nghiệm chứa Osterhaut trong môi trường nuôi cấy vi khuẩn
làm thực phảm, mỗi ống chứa 0.5ml.

Phương trình logic giả định tỷ lệ sinh hoặc tử phản ứng với những thay đổi trong dân số. Tuy
nhiên, có một số sinh vật biểu hiện sinh sản với sự chậm trễ. Sự chậm trễ xảy ra là do dinh dưỡng, hoặc
từ điều kiện môi trường. Hutchinson là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa ra sự chậm trễ trong
phương trình logic. Ông chỉ ra rằng việc quan sát các dao động có thể được giải thích bởi thời gian có
chậm hữu hạn. Cụ thể, ông đã nghiên cứu phương trình sau:
d

Ạ = rN(l

dti
\
K
Phương trình này có thể được viết lại dạng không thứ nguyên nếu ta đặt:
y = N/K và t = ti/r
Khi đó phương trình trở thành:
í=-'))
trong đó, A = rr

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

13

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Hình 1.3: Với À = 1, nghiêm dao động của phương trình vi phân có chậm ở trạng thái ổn định là y = 1

Một cách tổng quát, mô hình có chậm của kẻ săn mồi - con mồi có dạng:

±(t) = x(t)F(t,xt,yt),
ỹơ) = y(ì)G(t,xt,yt),
trong đó, xt(0) = x(t + ớ),

= y(t + ớ) với ớ < 0 ; F , G thỏa mãn điều kiện : dF/dxị


Hệ động lực học và sự bất biến

Trường hợp, phương trình vi phân có chậm hữu hạn::

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

17

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

Hệ động lực học và sự bất biến

18

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

Hệ động lực học và sự bất biến

Do đó,
v(t,xt) < -w(^) ,telfc.


(xịt + ớ) —
X*)á/21(Ớ)

— cx(t)(x(t) — X*) f°r(x(t + 0) — x*)dfi2(0).
Nếu |x(t) — x*| > \x(t + ớ) — x*| , 0 G [—r, 0] thì:
V(x(t)) < —(ữ — b — c)(x(t) — X*)2.

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

19

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

Tính ổn định theo hàm Lyapunov

20

GVHD: TS. Lê Xuân Đại


Luận văn cao học

IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy

Tính ổn định theo hàm Lyapunov
0, k2{0) > 0 cho ta V(ự>,7/>) = 0
nếu và chỉ nếu ự>(s),ĩị>(s) không đồng nhất trên [-r, 0].

■

Ta xét hệ thứ nguyên n như sau:
Tì'
Tì' ny
±i(t) = Xi(t)[ei + '^2pijXj(t) +
/ Sijkij(0)xj(t - 0)d0], i =
J-1
j=i

(2.10)

Trong ăó i,j = 1,..., n, Ci, Pij, Sịj là những hằng số và kij(0) thỏa (Hl) - (H3) và
fg kij^dO = 1

(2.11)


i=l j=l
do
+ y^aịSii [ kịị(p)[ [ ội(-s)ds][-ội(-0) + Ội(ữ)]d0
Í=1 J0
Jo
22{J2«i