Chơng i. Véc tơ
bài 1. Các định nghĩa
(Tiết 1, 2)
I.Mục tiêu
- Hiểu và biết vận dụng : Khái niệm véc tơ; véc tơ cùng phơng, cùng hớng; độ dài
véc tơ; véc tơ bằng nhau, véc tơ không.
- Biết xác định: điểm gốc ( hay điểm đầu), điểm ngọn (hay điểm cuối) của véc tơ;
giá, phơng, hớng của véc tơ, độ dài véc tơ, véc tơ bằng nhau véc tơ không. Cho điểm A và
a
dựng điểm B sao cho
AB
=
a
.
- Rèn luyện t duy lôgíc và trí tởng tợng không gian; biết quy lạ về quen. Cẩn thận,
chính xác trong tính toán và lập luận.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
- Đồ dùng dạy học: Thớc kẻ, compa, sách giáo khoa, sách bài tập.
III. Phơng pháp
- Kết hợp : Gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề và đan xen hoạt động nhóm
IV. Tiến trình tổ chức bài học
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ
3. Nội dung bài mới
Tiết thứ 1
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
HĐ1: Véc tơ và tên gọi.
Cho học sinh quan sát hình vẽ
SGK
GV giúp học sinh hiểu đợc có
sự khác nhau cơ bản giữa hai

a
không chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.
2. Véc tơ cùng phơng, véc tơ cùng hớng
Đờng thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của
1
A
B
a
x
Định nghĩa:
Véc tơ là một đoạn thẳng có hớng.
Ký hiệu:
AB
đọc là véctơ AB
Cho học sinh quan sát hình vẽ
và cho nhận xét về giá của các
cặp véc tơ
Cho học sinh chỉ ra trên hình
vẽ các véc tơ cùng hớng, ngợc
hớng. Rút ra định nghĩa.
HĐ3: Củng cố kiến thhức.
Học sinh chia nhóm giải ví dụ,
báo cáo kết quả.
GV hớng dẫn học sinh chỉ ra
các véc tơ cùng phơng với véc
tơ
AB
GV hớng dẫn học sinh chỉ ra
các véc tơ cùng hớng với
PN

BC,MC,BM
Nhậ xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ
khi hai véc tơ
AC,AB
cùng phơng
Tiết 2: Các định nghĩa (tiếp)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐ4: Hai véc tơ bằng nhau.
Hs tiếp cận kiến thức:
Với hai điểm A, B xác định
mấy đoạn thẳng? xác định
mấy véc tơ?
GV giới thiệu về độ dài véc tơ
và véc tơ đơn vị
GV giới thiệu định nghĩa hai
véc tơ bằng nhau
3. Hai véc tơ bằng nhau
Cho véc tơ
AB
độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ
dài véc tơ
AB
. Ký hiệu là
AB
. Vậy
AB
= AB
Véc tơ có độ dài bằng 1 gọi là véc tơ đơn vị
Định nghĩa:

Véc tơ không có độ dài bằng
bao nhiêu?
Véc tơ không cùng phơng,
cùng hớng với véc tơ nào?
GV hớng dẫn và yêu cầu học
sinh giải bài toán
Cho trớc véc tơ
AB
và điểm D. Tìm điểm C thoả
mãn
AB
=
DC
.
Kết luận
Khi cho trớc véc tơ
a
và điểm O ta luôn tìm đ-
ợc điểm A sao cho
aOA
=

Ví dụ 4:
Cho tam giác ABC có M, N, P theo thứ tự là
trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Hãy chỉ ra các
véc tơ bằng véc tơ
NP,PM,MN
4. Véc tơ - Không
Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm
cuối trùng nhau .

b
;
x
và
y
;
u
và
v
;
w
và
z
;
Các véc tơ cùng hớng:
a
và
b
;
x
,
y
và
z
Các véc tơ ngợc hớng:
x
và
w
;
y

Yêu cầu học sinh dựng hình
và chứng minh. GV hớng
dẫn cách chứng minh.
Học sinh lên bảng giải, vẽ
hình
Suy ra tứ giác ABCD là
hình bình hành
Bài tập 4:
a)Các véc tơ cùng phơng với
OA
gồm có
FE,EF,CB,BC,DA,AD,DO,OD,AO
b) Các véc tơ bằng véc tơ
AB
gồm có:
FO,OC,ED
Bà itập 5: Cho hình bình hành ABCD.
Dựng
BCPQ,DCNP,DAMN,BAAM
====
Chứng minh
0AQ
=
Bài tập số 1.6 (SBT)
Xác định vị trí tơng đối của ba điểm A, B, C biết các
véc tơ
AB
và
AC
cùng hớng

hiệu của nhiều véc tơ. Nhận biết đợc điều kiện trung điểm của một đoạn thẳng. Biết vận
dụng kiến thức giải bài tập.
- Rèn luyện t duy phân tích, tổng hợp t duy lôgíc, trừu tợng, biết quy lạ về quen.
Cẩn thận, chính xác.
II. chuẩn bị
- Học sinh đã nắm vững định nghĩa véc tơ, phơng, hớng, độ dài của véc tơ.
- Đọc trớc bài ở nhà. Chuẩn bị đồ dùng học tập.
III. Phơng pháp
- Thuyết trình gợi mở vấn đáp, phát hiện vấn đề
- Tạo các nhóm hoạt động xây dựng bài
IV. Tiến trình tổ chức bài học
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ: 1. Định nghĩa hai vectơ bằng nhau?
2. Cho ABC, dựng điểm M sao cho
BCAM
=
;
CBAM
=
3. Nội dung bài mới
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐ1: Hình thành định
nghĩa.
Học sinh quan sát hình vẽ
SGK, cho biết hớng chuyển
động của con thuyền
Tổng của hai véc tơ cho kết
quả là gì?
Cách dựng tổng 2 véc tơ
HĐ2: Xây dựng các qui tắc

Báo cáo kết quả.
Giáo viên chỉnh sửa cho học
sinh ghi nhận kiến thhức.
+ Quy tắc hình bình hành:
ACADAB
=+
(hoặc còn gọi là quy tắc cộng hai véc tơ chung gốc)
* Để xác định lực tổng hợp của hai lực
1
F
và
2
F
ta
sử dụng quy tắc hình bình hành.
2.Tính chất của phép cộng véc tơ
Với ba véc tơ tuỳ ý
a
,
b
,
c
ta có
a
+
b
=
b
+
a

của các cạnh BC, CA, AB. Thực hiện các phép toán
sau:
(Tiết 4). Tổng và hiệu của hai véc tơ (tiếp)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
HĐ5: Hiệu hai véc tơ
4. Hiệu của hai véc tơ
6
A
B
D
C
B
A
C
F
D
E
HS quan sát trên hình vẽ
Nhận xét về độ dài và hớng
của hai véc tơ
AB
và
CD

Ghi nhận khái niệm véc tơ đối
Học sinh vẽ hình
Vẽ các véc tơ bằng nhau trong
ví dụ
Cho
AB

a
là -
a
Véc tơ
AB
có véc tơ đối là
BA
nghĩa là
-
AB
=
BA

Véc tơ đối của véc tơ
0
là
0

Ví dụ: nếu D, E, F lần lợt là trung điểm các cạnh BC,
CA,
AB
của ABC khi đó ta có
EF
= -
DC
;
BD
= -
EF
;

+ (-
b
)
Với ba điểm O, A,
b
tuỳ ý ta có:

AB
=
OB
-
OA
Chú ý:
1)Phép tìm hiệu của hai véc tơ còn gọi là phép trừ véc
tơ
2) Với ba điểm tuỳ ý ta luôn có
AB
+
BC
=
AC
(quy tắc ba điểm)
AB
-
AC
=
CB

Giải:
b) Gọi I là trung điểm của AB lấy điểm D đối xứng
với điểm G qua I. Khi đó BGCD là hình bình hành và
G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Suy ra
GB
+
GC
=
GD
và
GA
+
GD
=
0
Ta có:
GA
+
GB
+
GC
=
0
Ngợc lại , giả sử
GA
+
GB
+
GC

Về nhà học bài, làm bài tập về nhà 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (SGK trang 12)
Tiết 5. Bài tập
I. Mục tiêu
- Củng cố các phép toán tổng, hiệu các véc tơ, vận dụng giải bài tập.
- Rèn kỹ năng giải bài tập, biết vận dụng đợc các công thức một cách linh hoạt khi
làm bài.
- Rèn luyện t duy phân tích, tổng hợp t duy lôgíc, biết quy lạ về quen. Cẩn thận,
chính xác.
II. Chẩn bị
- Học sinh đã đợc chuẩn bị làm bài tập ở nhà.
III. Phơng pháp
Phát vấn gợi mở vấn đáp phát hiện vấn đề, hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình lên lớp
1. ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Học sinh lên bảng làm bài tập
8
3. Nội dung bài học
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Học sinh vẽ hình theo yêu
cầu bài tập 1
Cho biết vị trí của điểm M
Nêu cách chứng minh bài
toán
Phân tích các véc tơ theo
điểm B và D.
Sử dụng các véc tơ bằng nhau
đa các véc tơ đã cho về công
thức tìm hiệu hai véc tơ.
Bài 1: Vẽ hình minh hoạ bài tập
Bài 2:

=
RA
+
AJ
+
IB
+
BQ
+
PC

+
CS
= (
RA
+
CS
) + (
AJ
+
IB
) + (
BQ
+
PC
)
=
0
Bài 6:
a)

OC
=
CD

vì
BA
=
CD
nên
DA
-
DB
=
OD
-
OC
.
d)
DA
-
DB
+
DC
=
BA
+
DC
=
0
,

A
D
A
C
A
B
A
M
A
A
C
A
B
A
D
A
O
A
B
A
D
A
A
C
A
Học sinh vẽ hình minh hoạ?
Xác định lực tổng hợp của ba
lực
1
F

IJ
=
0
I J.
Bài 10:
Vật đứng yên là do
0FFF
321
=++
. Vẽ hình thoi
MAEB ta có
MEFF
21
=+
và lực
MEF
4
=
có cờng
độ là
3100
. Ta có
0FF
43
=+
do đó
3
F
Là véc tơ đối của
4

0
G là trọng tâm của tam giác ABC
GA
+
GB
+
GC
=
0

5. Bài tập: Về nhà làm các bài tập số 8, 9, 11, 13, 14, 15 (SBT trang 21) .
Đọc trớc bài Tích của véc tơ với một số.
BàI 3. Tích của véc tơ với một số
10
A
M
B
M
E
M
0
60
2
F
1
F
4
F
3
F

k sao cho
x
= k
a
+ h
b
.
- Phát triển t duy logic, khái quát. Biết phân tích, tổng hợp. Tích cực chủ động,
sáng tạo trong học tập.
II. Chuẩn bị
- Đọc trớc bài ở nhà, chuẩn bị đồ dùng dạy học.
III. Phơng pháp:
- Thuyết trình gợi mở vấn đáp phát hiện vấn đề, hoạt động nhóm
IV. Tiến trình tổ chức giờ học
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ : Cho
a
dựng các véc tơ:
a
+
a
;
a
+
a
+
a
, nhận xét về h-
ớng, độ dài của các véc tơ đó. So sánh với véc tơ
a

. Xác định độ dài
và hớng của véc tơ
a
+
a

Định nghĩa: GV nêu trong SGK
Quy ớc 0
a
=
0
, k
0
=
0

Ví dụ: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, D và E
lần lợt là trung điểm của BC và AC. Khi đó ta có
GA
= (-2)
GD
,
AD
= 3
GD
,
GA
=
AB)
2

a
và
'OA
có tính
2. Tính chất
Với hai véc tơ
a
và
b
bất kỳ, với mọi số h và k, ta
có:
k(
a
+
b
) = k
a
+ k
b
;
(h + k)
a
= h
a
+ k
b
;
h(k
a
) = (hk)


4. Điều kiện để hai véc tơ cùng phơng
Điều kiện cần và đủ để hai véc tơ
a
và
b
(
b

0
)
cùng phơng là có một số k để
a
= k
b
.
Thật vậy, nếu
a
= k
b
thì hai véc tơ
a
và
b
cùng
phơng. Ta lấy k =
b
a
nếu
a

là hai véc tơ không cùng
phơng và
x
=
OC
là một véc tơ tuỳ ý.
Kẻ CA // OB và CB // OA. Khi đó
x
=
OC
=
'OA
+
'OB
. Vì
'OA
và
a
là hai véc tơ cùng ph-
ong nên có số h để
'OA
= h
a
. Vì
'OB
và
b
cùng
phơng nên có số k để
'OB

chất gì?

Cho hai véc tơ
a
và
b
không cùng phơng. Khi đó
mọi véc tơ
x
đều phân tích đợc một cách duy
nhất theo hai véc tơ
a
và
b
, nghĩa là có duy nhất
cặp số h, k sao cho
x
= h
a
+ k
b
.
4. Củng cố
Hệ thống các kiến thức trọng tâm của bài, các công thức véc tơ tích, tính chất, công thức
trung điểm đọa thẳng, trọng tâm tam giác.
5. Bài tập
Về nhà học kỹ bài và làm các bài tập 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 (SGK trang 17).
Tiết 8. Bài tập
I. Mục tiêu
Củng cố định nghĩa, tính chất phép nhân vectơ với một số, vận dụng giải bài tập.

AC
= 2
AC

13
hành tính tổng các véc tơ.
Phân tích véc tơ
AB
theo
điểm G.
Phân tích véc tơ
BC
thành
hiệu hai véc tơ theo điểm A
Phân tích véc tơ
CA
thành hai
véc tơ
AB
và
BC
.
Phân tích véc tơ
MN
theo
điểm A và C.
Phân tích véc tơ
MN
theo
điểm B và D.

3
2

=
BC
AC
-
AB
= 2
AM
-
AB
=
= 2(
AG
+
GM
)
AB
=
v
3
4
u
3
2
)v
3
2
u

3
2
()vu(
3
2
=+
Bài 5:
BDACMN2
DNBDMBMN
CNACMAMN
+=
++=
+
++=

ADBCMN2
DNADMAMN
CNBCMBMN
+=
++=
+
++=
Bài 7:
Gọi C là trung điểm của AB
MA
+
MB
+ 2
MC
=

V
A
Nêu ra nhận xét để hai tam
giác ABC và ABC có cùng
trọng tâm là G và G,
'GG3'CC'BB'AA
=++
0)GFGEGDGCGBGA(
2
1
GRGPGM
=+++++=
=++
0)F'GE'GD'GC'GB'GA'G(
2
1
S'GQ'GN'G
=+++++=
=++
Do đó:
=+++++
GFGEGDGCGBGA
=
F'GE'GD'GC'GB'GA'G
+++++
6
'GG
=
0
G G

b)
MQMNMP
+=
Câu 3. Cho ABC, trọng tâm G; M, N, P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA.
Chứng minh rằng:
OGPGNGM
=++
Đáp án
Câu 1(3 điểm)
a)
ODOCOBOAO
=+++
15
b)
ACACADAB 2
=++
c)
DCODOC
=
Câu 2 (4 điểm)
a)
ACQPMN
2
1
==
(đờng trung bình trong tam giác)
b) Tứ giác MNPQ là hình bình hành nên có:
MQMNMP
+=
Câu 3(3 điểm)

- Đặt vấn đề cho học sinh giải quyết
- Hoạt động nhóm của học sinh
iii. Tiến trình tổ chức giờ học
1. ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ
3. Nội dung bài giảng
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
16
Nêu vấn đề:
Giúp học sinh tái hiện lại về
trục số thực.
Gắn toạ độ vào các véc tơ trên
trục (O ;
e
).
Độ dài đại số của đoạn thẳng
Học sinh vẽ hình minh hoạ
Hình vẽ SGK học sinh phân
tích các véc tơ đã cho theo các
véc tơ
i
và
j

1. Trục và độ dài đại số trên trục
a) Trục toạ độ
Kí hiệu là : (O ;
e
),
e

= AB,
còn nếu
AB
ngợc hớng với
e
thì
AB
= - AB.
Nếu hai điểm A và B trên trục (O ;
e
) có toạ độ lần
lợt là a và b thì
AB
= b a.
2. Hệ trục toạ độ
a) Định nghĩa: (SGK)
Kí hiệu: Oxy hay còn gọi là mặt phẳng Oxy
b) Toạ độ của véc tơ
Phân tích các véc tơ
a
và
b
theo hai véc tơ
i
và
j
.
17
x
i

2
A
Em hãy phân tích véc tơ
u

theo
i
và
j
.
Phân tích véc tơ
OA
theo hai
véc tơ
i
và
j

Xác định toạ độ của các điểm
A, B, C trên hình vẽ sau?
Chứng minh công thức dựa
vào véc tơ
OA
và
OB

u
= (x ; y)



j d) Liên hệ giữa toạ độ của véc tơ và của điểm
Cho A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) . Ta có toạ độ của véc
tơ
AB
= (x
B
x
A
; y
B
- y
A
)
Tiết 11. Hệ trục toạ độ (tiếp)
18
A
x
i
j

a
và
b
mà em đã đợc
học.
áp dụng hai véc tơ bằng nhau
để tìm h và k?
Chứng minh công thức dựa
vào
AI
=
IB

Chứng minh công thức dựa
vào
GA
+
GB
+
GC
=
0

áp dụng công thức tính toạ độ
điểm I.
Tính toạ độ trọng tâm G của
tam giác ABC
3. Toạ độ của các véc tơ
u
+

= (5 ; -1)
Tìm toạ độ véc tơ
u
= 2
a
+
b
+
c

Ta có: 2
a
= (2 ; - 4), 2
a
+
b
= (5 ; 0),
2
a
+
b
+
c
= (0 ; 1). Vậy
u
= (0 ; 1)
Ví dụ 2: Cho
a
= (1 ; - 1),
b

4h2k
Vậy
c
= 2
a
+
b
.
Nhận xét: Hai véc tơ
u
= (x ; y) và
v
= (x ; y)
với
v

0
cùng phơng khi và chỉ khi có một số k
sao cho x = kx, y = ky.
4. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng. Toạ độ của
trọng tâm tam giác.
a) Cho đoạn thẳng AB có A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
).

),
C(x
C
; y
C
). Khi đó toạ độ trọng tâm G(x
G
; y
G
) của
tam giác ABC đợc tính theo công thức:

3
yyy
y,
3
xxx
x
CBA
G
CBA
G
++
=
++
=
Ví dụ 3: Cho A(2 ; 0), B(0 ; 4), C(1 ; 3). Tìm toạ độ
trung điểm I của đoạn thẳng AB và trọng tâm G
của tam giác ABC.
Ta có

340
y
G
=
++
=
19
4. Củng cố
- Hệ thống các kiến thức trong bài, khắc sâu các công thức trọng tâm.
- Khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, của điểm, các tính chất.
- Hớng dẫn học sinh làm bài tập số 5.
5. Bài tập
Học thuộc các công thức vận dụng làm các bài tập 1,2, 3, 6, 7, 8 (SGK trang 27).
Tiết 12. Bài tập
I. Mục tiêu
- Biểu diễn các điểm và các véc tơ bằng các cặp số trong hệ trục toạ độ đã cho
Ngợc lại xác định đợc điểm A và véc tơ
u
khi cho biết toạ độ của chúng
- Biết tìm toạ đọ các véc tơ
u
+
'u
,
u
-
'u
, k
u
khi biết toạ độ

Em hãy vẽ hệ trục toạ độ Oxy
Vẽ điểm A, điểm B, điểm C.
Cho học sinh lên bảng làm.
Trong hình bình hành ABCD
ta có các cặp véc tơ nào bằng
nhau?
AB
=
DC
khi nào?
Các tứ giác ABAC,
BABC, CBCA là hình gì?
Từ đó suy ra cách xác định
đinht thứ 4 của hình bình hành
đó,
Trả lời các bài tập 2, 4.
Bài 2: a) đúng; b) đúng; c) sai; d) đúng
Bài 4: a) đúng; b) đúng; c) đúng; d) đúng
Bài 1:
AB
= 3,
MN
= - 5
Bài 3:
a)
a
=(2 ; 0); b)
b
= (0 ; - 3)
c)

; - 1 y
D
).
21
M
O

O
A
O
B
O
N
O
y
y
y
y
y
y
M
y
y

y
B

Phân tích véc tơ
c
theo hai

=
=




=+
=
=
1y
8x
32y
62x
'B'AA'C
A
A
A
A



=
=




=
=
=

Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G(0 ; 1) và
toạ độ của trọng tâm tam giác ABC là G(0 ; 1).
Vậy G G.
22
C
B
C
A
B
A
Bài 8:
Giả sử
c
= h
a
+ k
b
. Khi đó



=
=




=+
=+
1k

1. ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Thông qua việc giải bài tập.
3. Nội dung bài giảng
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Học sinh trả lời theo câu hỏi
I. Ôn tập lại các kiến thức đã học
23
phát vấn các nội dung sau:
- Véc tơ, véc tơ cùng phơng,
véc tơ cùng hớng, véc tơ bằng
nhau.
- Quy tắc cộng véc tơ
- Quy tắc trừ véc tơ
- Nhân véc tơ với một số
- Toạ độ véc tơ, toạ độ của
điểm.
Từ giả thiết bài toán
AB
=
DC
em suy ra ABCD là hình
gì?
Sử dụng quy tắc hình bình
hành xác định tổng hai véc tơ?
Phân tích véc tơ
MP
theo
điểm S?
Phân tích véc tơ
NQ

b)
aACAB
=
Bài 7:
MP
+
NQ
+
RS
=

RQNPMS
)QSPQSP(RQNPMS
QSRQPQNPSPMS
++=
+++++=
+++++=

Bài 8:
a)
OM
=
2
1
OA

b)
OAOB
2
1

a)
u
= (40 ; - 13);
b)
x
=
b
-
c
-
a
= (8 ; - 7)
c) k
a
+ h
b
= (2k + 3h ; k 4h)
24
A
B
C
D
E
F
O
AB
=
OC
=
FO

=+
1h
2k
2h4k
7h3k2
Bài 12:
u
= (
2
1
; - 5),
v
= (m ; - 4). Hai véc tơ cùng ph-
ơng
5
2
m
5
4
2
1
m
=


=
4. Củng cố
Biết thực hiện phép cộng véc tơ, phép trừ véc tơ, tích vectơ với một số.
Nắm vững hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, của điểm, các phép toán về tọa độ.
Biết sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng và đối với phép trừ. Biết sử dụng