SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
GV: Trần Đình Hiền
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2009 - 2010
MÔN THI : TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I:
1) Giải phương trình :
( )
1 1 sin 2
1 sin 2 cos sin
2 2 cos sin
x
x x x
x x
+
− − =
+ −
2) Cho x,y > 0 thỏa mãn
5
2
4
x y
π
+ <
. Chứng minh rằng :
.sin
cos( )
.sin
y x

k k
= + + + + + + +
+ +
,
(k ∈ N, 0≤ k ≤ 2008).
Câu III:
1) Cho x,y ≥ 0 và x
2
+ y
2
= 1 .Tìm GTNN, GTLN của
2 2
1 1
x y
P
y x
= +
+ +
2) Cho dãy số (u
n
) với u
1
= 1 và
1
1 2
2
n n
n
u u
u

thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
2, ,
3
f x f y f xy
x y x y R
−
= + + ∀ ∈
Hãy tính giá trị f(2009).
…………..Hết …………..
HD:
I.1) Đặt t = cosx - sinx,
| | 2t ≤
,
sinxcosx =
2
1
2
t−
; PT ⇔ t =0; ± 1
III.1) Đặt t = xy, 0 ≤ t ≤
1
2
. P
2
= f(t) = ?
I.2) BĐT ⇔
sin( 2 ) s
2
inxx y

2
L L
L
 
= +
 ÷
 
⇔
2L =
II.1) HPT chuyển về đt ∆ và đường tròn(C). HPT
có nghiệm ⇔
( , )d I R∆ <
IV.1) Tính SinA, sinB = ?, sin C = sin(A + B) = ?
Áp dụng ĐL sin . suy ra AC = ?, BC = ?
Gọi C(x;y). Giải HPT
II.2)
2
2008 2010
( 1)( 2) 2009.2010
k k
C C
k k
+
=
+ +
IV.2)
C1) Định lí Talet
C2: Tỷ số thể tích
' ' '
'. '. '

−
 
 
.
Câu II:
1) Tính tổng S =
( )
2010
2
2010
0
k
k
k C
=
∑
2) Gieo đồng thời 3 con xúc xắc. Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 2 con xúc xắc xuất hiện mặt 6
chấm. Tính xác suất để trong 3 ván người chơi đó thắng ít nhất là 2 ván.
3) Cho a,b,c ≥ 0 thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
1 2
1 1 1
a b c
bc ca ab
≤ + + ≤

a
h b c+ = +
. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
3) Cho phương trình:
1
... 1 0
n n
x x x
−
+ + + − =
. Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương phương trình
có đúng 1 nghiệm dương x
n
và tìm lim x
n
.
Câu IV:
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng
(α) qua AC’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’ , D’ . Đặt
;
' '
D
D
SB S
x y
SB S
= =
. Chứng minh rằng:
4 1 1 3
3 2x y

2
2
2 ( )xP x P x− =
, ∀ x ∈ R.
………… Hết ……….
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
GV: Trần Đình Hiền
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2009 - 2010
MÔN THI : TOÁN - LỚP 12
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I:
1) a) Lập công thức tính các tổng:
1 1
sin ; cosa
n n
k k
k k
A B a
= =
= =
∑ ∑
, trong đó (a
n
) là cấp số cộng với công
sai d. Từ đó tính
3 5
cos cos cos
7 7 7

− −
.
b) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xz - zy - xy = 1. Tìm GTLN của
2 2 2
2 2 2
2 2 3
1 1 1
x zy
P
x y z
= − +
+ + +
Câu II:
1) a) Cho khai triển P =
2 2009 2009
0 1 2009
(1 ) (1 ) .... (1 ) ....x x x a a x a x+ + + + + + = + + +
. Tính a
10
.
b) Tính tổng
3 3 3 3
3 4 5 2010
2 3 .... 2008S C C C C= + + + +
.
2) Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số. Tính xác suất để số vé không có số 1 hoặc không có số
5.
3) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm: x
5
- x

1
n
n n
x
x x
n
+
 
= +
 ÷
 
. Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn là a
và khi đó lim n(a - x
n
) = a
2
.
3) Cho hàm số y = f(x) = x
3
- 3x + 2 có đồ thị (C). Giả sử M,N,P là ba điểm thẳng hàng và cùng thuộc
đồ thị (C). Các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M,N,P cắt đồ thị (C) lần lượt tại M’,N’,P’. Chứng minh
M’, N’, P’ thẳng hàng.
Câu IV:
1) Cho hai elíp:
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
( ) : 1; ( ) : 1

+ = +
 ÷
 
, với x ≠ 0, 1.
…………Hết………….