Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 10 chuyên
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
CÂU I ( 4,0 điểm)
Giả sử a, b, c là các số nguyên khác không; sao cho phơng trình
ax
2
+ by
2
+ cz
2
= 0 có nghiệm nguyên (x, y, z) khác (0, 0, 0). Chứng minh rằng:
Phơng trình ax
2
+ by
2
+ cz
2
= 1 có nghiệm hữu tỉ (x, y, z).
Câu II (4điểm)
Cho a và b là các số nguyên sao cho có hai số nguyên liên tiếp c và d để: a
b = a
2
c - b
2
d. Chứng minh rằng a - blà một số chính phơng.
CÂU III ( 5,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c = 1. Chứng minh
rằng :
1abc32cba

; đồng thời đờng tròn (I
1
) tiếp xúc ngoài với đờng
tròn (I
2
), đờng tròn (I
2
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I
3
), đờng tròn (I
3
) tiếp xúc
ngoài với đờng tròn (I
4
), đờng tròn (I
4
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I
5
), đờng tròn
(I
5
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I
6
), đờng tròn (I
6
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn
(I
1
).
1) Chứng minh rằng: A

), (I
4
), (I
5
), (I
6
) thoả mãn tính chất đã nêu ở đề bài và
đồng thời 6 đờng tròn này lại đều tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I , r) khi và chỉ khi
( R r )
2
d
2
=
3
4
Rr .
---------------------------------
Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 11 chuyên
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
CÂU I ( 4,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
2
1
y1x1
xy1yx


và n>1.
Với mỗi n

N
*
, gọi b
n
=

=
n
1k
k
a
. Chứng minh dãy số ( b
n
) có giới hạn.
CÂU III ( 4,0 điểm)
Xác định hàm số
R
2
1
0f

);(:
, liên tục và thoả mãn điều kiện:
f(xy) = xf(x) + yf(y) với mọi x, y thuộc khoảng ( 0;
2
1

Cho hàm số f(x) =
m2x2xmx2
2
++
, với m là tham số.
1) Khi m =
2
3

; hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R .
Câu II ( 4 điểm)
Tính tích phân I =


+++
+
1
1
x24
2
dx
1e1xx
1x
))((
Câu III (7 điểm)
Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đờng parabol (P) có ph-
ơng trình: y = x
2
và đờng tròn (C) có phơng trình: x

2


) , ta đều có:

33
3
1xxx1x1xx )cos(.cossin.)cos()sin(.cos
+>++
------------------------------------------
Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 11 chung
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu I (6 điểm)
Cho phơng trình :
0m
x2
x21
x
x21
=+



sincos
. Với m là tham số.
1) Khi m = 0; hãy tìm tất cả các nghiệm x

( - 50 ; -

=++
sin)cos(cos
Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC .
Câu IV (8 điểm)
Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi
A
1
, B
1
, C
1
thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
1) Chứng minh tam giác A
1
B
1
C
1
là tam giác nhọn.
2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C . Gọi

là số đo của góc nhị diện
[ C
1
, OA
1
, B
1
] ; tìm cos


ab
c
gB
ac
b
gA
bc
a
cotcotcot
++
) = 1
Câu IV ( 3 điểm)
Cho hệ phơng trình :






=++
=++
=++
xcbzaz
zcbyay
ycbxax
2
2
2
Với ẩn ( x, y, z) và các hệ số thực a, b, c trong đó a


.

----------------------------------------