ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 10
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3điểm)
Giải phương trình:
2 2
3
3 2 3 2 ( 1)
2
x x x x
+ − − + = +
Bài 2: (3,5điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y

+ + =


+ =



Bài 3: (3,5điểm)
Cho a và b là hai số thực dương , m là số tự nhiên.
Chứng minh:
1
1 1 2

thứ tự tại
( ) ( )
a;0 , 0;A B b
(với a > 0 , b > 0) và sao cho diện tích tam giác OAB bé nhất.

……………………Hết…………………..
ĐÁP ÁN
Bài1: Giải phương trình
*Đưa pt về:
2 2
2 3 3 2 2 3 2 0x x x x− + − − + =
*Đặt :
2
2 3 2,t x x t o= − + ≥
3đ
05
05
05
*Nên:
1
1 1 2 4 2
m m
m m
b a
a b
+
   
+ + + ≥ =
 ÷  ÷
   

2
16 2 2 2 8 2P P P− − + =

( )
2
2 32 128 8 2 2P P P⇔ − + = −

2
32 128 8P P P⇔ − + = −

( )
2
2
8
32 128 8
P
P P P
≤


⇔

− + = −



4P
⇔ =
*Nên
;x y

 ÷  ÷  ÷  ÷
       

*Hay:
1 1 2 2
m m m
b a b a
a b a b
     
+ + + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
* Áp dụng bđt Cosi cho 2 số
0, 0
b a
a b
> >
:
05
05
05
35đ
025
025
025
025
025
05
025
05

0
m m
m
m

− − ≥


⇔ − >


>



2
2
4
3
0
m
m
m

≤

⇔ >


>

có cạnh huyền là 2.
Bài 5: Chứng minh
*Ta có:
1
2
ABC
S bc=

1 1 2
sin 45
2 2 2
ABD
S cl cl= =
o

1 1 2
sin 45
2 2 2
ACD
S bl bl= =
o

ABC ABD ACD
S S S= +
*Nên:
2 2
2 2
bc cl bl= +

( )

b a
a b
+ ≥

Bài 6:Viết phương trình đường thẳng d
*Ta có pt AB có dạng:
1
x y
a b
+ =
*
( )
4 6
4;6 1M AB
a b
∈ ⇒ + =
*Mà :
4 6 24
2
a b ab
+ ≥
(Theo Cosi)
*Nên:
24 1 24
1 2 96
4
ab
ab ab
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
*Do đó:

+ =
05
025
025
05
025
05
025
025
05
025
*Kết luận.