TRƯỜNG THCS PHÚ TRƯỜNG

ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN 7 – NĂM HỌC 2017-2018

Câu 1. (5 điểm)

3a 6  c 6  a  c 
a c

a) Cho  . Chứng minh rằng: 6
3b  d 6  b  d 6
b d
6

b  d  0

b) Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với
15;60 và 8
Câu 2. (3 điểm)
2a  5b
a 3
với 
a  3b
b 5
b) Tìm các số a, b, c biết ab  2, bc  6, ac  3

a) Tính giá trị của biểu thức

Câu 3. (3 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a  5b  8c

d
b d  bd 
b  d 
6

6

6

6

3a 6 c 6  a  c 
3a 6  c 6  a  c 
 6  6


6
6
3b
d
 b  d  3b6  d 6  b  d 
6

6

b) Gọi hai số phải tìm là a, b  a  b  0  , theo đầu bài ta có:
15  a  b   60  a  b   8ab hay

a  5
a  b a  b ab

abc  6, ab  2  c  3

abc  6, bc  6  a  1
abc  6, ac  3  b  2
Trường hợp 2:
abc  6, ab  2  c  3
abc  6, bc  6  a  1
abc  6, ac  3  b  2
a  1 a  1


Vậy b  2; b  2
c  3 c  3




Câu 3.
a) 3a  5b  8c  3a  3b  8c  8b  3 a  b   8  c  b 
Do đó: 3 a  b  8  a  b 8
Do a  b nên a  b  8; 8
-Trường hợp a  b  8  c  d  3  a  8, b  0, c  3hoặc a  9, b  1, c  4
-Trường hợp: a  b  8  c  b  3  a  1, b  9, c  6
Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 803,914,196.
b) x2  4 x  10  x 2  2 x  2 x  4  6   x  2   6  0  x 
2

Do đó x2  4 x  10 không có nghiệm.
Câu 4.
Xét các trường hợp:


I

C

a) Chứng minh CHO  CFO(ch  gn)  CH  CF  FCH cân tại C
Vẽ IG / / AC (G  FH ). Chứng minh FIG cân tại I
Suy ra AH  IG, IGK  AHK  AHK  IGK ( g  c  g )  AK  KI
b) Vẽ OE  AB tại E. Tương tự câu a, ta có: AEH , BEF thứ tự cân tại A, B ,
suy ra BE  BF và AE  AH .
BA  BE  EA  BF  AH  BF  FI  BI  ABI cân tại B.
Mà BO là phân giác của B, BK là đường trung tuyến của ABI nên B, O, K là ba
điểm thẳng hàng.