hình học 9
Phần 1 :
hình học phẳng
A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là
đờng tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
vị trí tơng đối Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R
M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc (
O ; R)
OM = R
M nằm trong ( O ; R ) OM < R
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng
a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a cắt ( O ; R ) 2 d < R
a tiếp xúc ( O ; R ) 1 d = R
a và ( O ; R ) không giao
nhau
0 d > R
* Của hai đờng tròn :
1
xét ( O;R) và (O; R) ( với d = O O )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < d < R- r

4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành
hai phần bằng nhau .
2
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì
vuông góc với dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách
đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn
hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
II. Góc trong đ ờng tròn:
1, Các loại góc trong đ ờng tròn :
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn . Đơng
tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn

.
8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.
10. Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác
của góc BCK.
11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS
cân tại M.
13.Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC.
14. Chứng minh góc SBC = góc NCM.
15. Chứng minh góc ABF = góc AON.
16. Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB,
AC theo thứ tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
a. Chứng minh AI vuông góc với BC.
4
b. Chứng minh góc IDE = góc IAE.
c. Chứng minh : AE . EC = BE . EI.
d. Cho góc BAC = 60
0
. Chứng minh tam giác DOE đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam giác ABC cắt (O)
tại D , AO kéo dài cắt (O) tại E.
a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là
trung điểm của BC.
c. Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm.
Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các
cung AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm

E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a. EF AC
b. DA . DF = DC . DE
c. Tứ giác BDFE nội tiếp.
Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK //
BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK
tại I.
a. Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O).
b. Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI.
c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI.
Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB các
tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên Ax và
By sao cho góc MON = 90
0
. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng :
a. AB là tiếp tuyến của (I ; IO).
b. MO là tia phân giác của góc AMN.
c. MN là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB.
d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN không dổi.
Bài 12: Cho (O;R) và (O; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài
của hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đ-
ờng tròn tại A cắt BC tại M.
a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M.
b. Đờng thẳng OO có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?
c. Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O , M.
d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O, M.
Bài 13: Cho (O) và (O)tiếp xúcngoài tại A. Đờng thẳng Ô cắt (O) và (O) theo thứ
tự tạu B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D
thuộc (O); E thuộc (O)) . M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :
6