Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng

Bài 1: Phơng trình lợng giác cơ bản
---oo0oo---
1. Ph ơng trình cơ bản
a.
( )
( )
msin,Zk
2kx
2kx
1mmxsin
=



+=
+=
=
b.
( )
( )
mcos,Zk
2kx
2kx
1mmxcos
=



+=


+
xx 4
5
2
cos
3
2

3)
5
7 tan 2 21 0
6
x


=
ữ

4)
2
cot 5 cot 3
3 6
x x


=
ữ ữ

5)

sin 2 cos3 0
4
x x


+ + =
ữ

8)
0cos32sin
=
xx
9) tan(6x).tan(11x)=1
*Bài 2 :Tìm tất cả các nghiệm nguyên của các phơng trình
1)
2
cos( (3 9 160 800)) 1
8
x x x

+ + =
2)
2
cos( (3 9 80 40)) 1
10
x x x

+ =
*Bài 3:Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của các phơng trình:
1)

(3):atan
2
(u(x))+btan(u(x))+c=0
Đặt t=tan(u(x))
(4):acot
2
(u(x))+bcot(u(x))+c=0
Đặt t=cot(u(x))
B.Chú ý:
2 2 2 2
2 2
cos 1 sin ; sin 1 cos
cos 2 1 2sin 2 cos 1
x x x x
x x x
= =
= =
C.Luyện tập:
Bài1:Giải các phơng trình sau:
1)
01sin2sin3
2
=++
xx
2)
2
3tan 4 3 tan 3 0x x + =
3)
02cos2cos2
2

2
3
3cot 3
sin
x
x
= +Bài 2:Giải các phơng trình sau:
1)
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
x x x
x
+
=
2)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin 2 1
x x x x x
x
+ + +
=


Bài 3:Giải phơng trình sau:

2
3
cos3 1 2sin
2
x
x =
Đáp số:
2 5 17 4 2 2 5 17 4
arcsin , arcsin ,
3 4 3 3 3 4 3
x k k x k k



= + = + ; Z Z
3)
2
4cos3 cos sin 2 0x x x+ =
HD:
2
2 2
2cos3 cos cos 2 cos 4 cos 4 2 cos 2 1
sin 2 1 cos 2
x x x x x x
x x
= + =
=
Đáp số:
1 1
, arccos ,




= +




= +


Z
5)
3 3
5 2 3
1 2 2
cos x sin x
sinx cos x
sin x
+

+ = +
ữ
+

(KA 2002)
HD:
3 3
cos
1 2 2



= + Z
(
2 , sin 2 1
4
x k k x


= + = Z n
(không tmđk ))
7) Tìm nghiệm









3;
2
x
:
xsin21
2
7
xcos3
2

)
Đặt t=sin(u(x)) Đk :
1 1t
(2): acos
3
(u(x))+bcos
2
(u(x))+ccos(u(x))+d=0 (
0a
)
Đặt t=cos(u(x)) Đk :
1 1t
(3): atan
3
(u(x))+btan
2
(u(x))+ctan(u(x))+d=0 (
0a
)
Đặt t=tan(u(x))
(4): acot
3
(u(x))+bcot
2
(u(x))+ccot(u(x))+d=0 (
0a
)
Đặt t=cot(u(x))
B.C hú ý
3 3

Bài 2:Giải các phơng trình sau:
3 2
3 2
1) 6 tan (3 2 3) tan (3 3) tan 3 0
2) cot 2cot 3cot 6 0
3) tan 3 tan 2
4) cot 3 cot 2 0
x x x
x x x
x x
x x
+ + + =
+ =
=
+ =
Bài 3:Giải các phơng trình sau:
1
1) 2 cos 2 8cos 7
cos
3
2) cos 6 2sin( 4 ) 3
2
x x
x
x x

+ =
= + +
2
3 4



= + = + = +

= = +
Z
Z
Bài2
1
1) ; arctan( ) ; 2 ,
4 2 6
2) arc cot( 2) ; ; ,
6 6
3) ; arctan( 2 1) ; arctan( 2 1) ,
4
4) ; arccot(1 2) ; arccot( 2 1) ,
4
x k x k x k k
x k x k x k k
x k x k x k k
x k x k x k k








= + = + = +

2 2
2
3 2 2
3 2 3 2
1) cos (3 ) cos(2 ) cos 0 ( 2005)
3
2) sin 6 2cos(2 ) 3) sin 3 4 cos 4 3
2
4) 3sin 3cos 7sin cos 2 1 0 5) cos 3cos sin 2 8sin 0
6) 2 tan 5 tan 23 tan 10 0 7) 2cot cot 13cot 6 0
x x x KA
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x

=
= + = +
+ + = + =
+ + = =
HD và Đáp số:
1)
2 2
3 4 2
2
cos 6 1 cos 2 1
: cos 3 ;cos
2 2
1: cos 6 4 cos 2 3cos 2 4cos 2 3cos 1 0
1
2 : cos 2 cos 6 (cos 4 cos8 ) 2cos 4 cos 4 3 0 : ,

1 cos 6
: sin 3 4 cos 2 16cos 2 3cos 2 3 0
2
1 9 57
: ; arccos( ) ,
6 2 4
x
HD x x x x
Kq x k x k k



= + =
+
= + = + Z
4)
3 2
1
: 3sin 5sin 7 sin 3 0 sin
3
1 1
: arcsin( ) 2 ; arcsin( ) 2 ,
3 3
HD x x x x
Kq x k x k k

+ + = =
= + = + Z
5)
3

2 2
sin cos ( 0)a x b x c a b+ = +
Chú ý:Công thức cộng,cung phụ nhau
a)CM:
2 2 2 2 2 2
sin cos ( 0)a b a x b x a b a b + + + +
b)Gpt:
2 2
sin cos ( 0)a x b x c a b+ = +
2)Ph ơng trình hệ quả
Hệ quả1:
2 2
sin cos ( 0)a x b x c a b = +
Hệ quả 2:
2 2
sin( ) cos( ) ( 0)a nx b nx c a b = +
Hệ quả 3:
2 2
2 2
2 2
2 2
sin( ) cos( ) sin( )
sin( ) cos( ) cos( )
sin( ) cos( ) sin( )
sin( ) cos( ) cos( )
a nx b nx a b ux
a nx b nx a b ux
a nx b nx a b ux
a nx b nx a b ux
+ = +




= +

=

= +

= +

=

= +

Z
Z
3)Luyện tập:
Bài Bài1: Giải các phơng trình sau:

3
1) 3sin 3 cos
2
x x

+ =

2) 3 cos9 sin 9 2x x+ =

3) cos 7 cos 5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5x x x x x =

1
2cossin
1sincos2
2

++
++

xx
xx
2) Cho y
m
=
2sincos
1cos2
++
++
xx
mxm
Tìm m để max y
m
đạt giá trị nhỏ nhất
3) Cho y
m
=
2sincos
1cos2
++
++
xx


HD và đáp số
1)đa về hệ quả 3:
5 2 5
sin 2 3 cos 2 2cos : ; 2 ,
18 3 6
x x x Kq x k x k k


= = + = + Z
2)đa về hệ quả 3:
2 2
3 cos 2 sin 2 2sin 3 : 2 ; ,
3 15 5
k
x x x Kq x k x k


+ = = + = + Z
3)Chia hai vế cho 2:
2 3 2
: ; ,
18 3 10 5
k k
Kq x x k

= + = + Z
4)
7 2
: sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) : 2 ; ,

3 3
x x x Kq x k x k x k k


= = + = + = Z
7)
3
5 2 2
sin 3 3sin 4sin : ; ,
18 3 6 3
k k
x x x Kq x x k

= = + = + Z
8)
35 53 59
; ;
84 84 84
x x x

= = =
9)
3
2 7 2
: 3sin 3 4sin 3 sin 9 : ; ,
18 9 54 9
k k
HD x x x Kq x x k

= = + = + Z

+ =
=
3
4 4
9) 3sin 3 3 cos 9 1 4sin 3
10) 4(sin cos ) 3 sin 4 2
x x x
x x x
= +
+ + =
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
4 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
: sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 2sin cos
1 1
1 2(sin cos ) 1 2( sin 2 ) 1 sin 2
2 2
1 1 cos 4 1 cos 4 3 cos 4
1 ( ) 1
2 2 4 4
: ; ,
12 2 4 2
HD x x x x x x x x
x x x x
x x x
k k
Kq x x k

+ = + =
= = =

a x d
=


=

Chú ý:
2 2
sin cos 1,x x x+ =
Trờng hợp 2: cosx
0

Chia hai vế cuả PT cho cos
2
x khác 0 ta đợc
2 2 2
tan tan (1 tan ) ( ) tan tan 0a x b x c d x a d x b x c d+ + = + + + =
Đặt t=tanx,phơng trình có dạng
(a-d)t
2
+bt+c-d=0 (1a)
Giải pt (1a) theo t suy ra
KN1:Có nghiệm t
o
0 0
tan arctan ,x t x t k k

= = + Z
KN2:pt(1a) vô nghiệm suy ra pt(1) vô nghiệm
2) Xét hai trờng hợp

x k x k k= + = + ;Z
2 2
2)sin 2 4sin cos cos 2 3cos 2 3 0x x x x x+ + =
; ,
2 8 2
k k
x x k

= = + Z
2 2
5 3
3)3sin (3 ) 2sin( ) cos( ) 5sin ( ) 0
2 2 2
x x x x


+ + + + =
5
; arctan( ) ,
4 3
x k x k k


= + = + Z
1
4) 3 sin cos
cos



= + Z
3
4)sin sin 2 sin 3 2cos cos3 3cosx x x x x x+ = + +
; arctan 2 ,
3
x k x k k


= + = + Z
5)1 3sin 2 2 tanx x+ =
3 17
; arctan( ) ,
4 4
x k x k k



= + = + Z
3 1
6) 2sin 2 3 cos
cos sin
x x
x x
+ = +
; ;
4 6
x k x k k


= + = + Z
4) Đs:
; ,
4 6
x k x k k= + = + Z
5)
3
cos3 4cos 3cos ; ; arctan(1 2) ,
4
x x x x k x k k


= = + = + Z
6)
sin( ) sin( ( )) cos( ) cos ; cos( ) cos( ( )) sin( ) sin
2 2 2 2
x x x x x x x x

+ = = = + = = =
Đs:
,
4
x k k


= + Z
7) Đk:

9) Cách 1: Đặt
3 3 ; cos3 cos(3 ) cos( 3 ) cos3
3
t x x t x t t t


= + = = = =
Cách 2:
1 3 1
cos( ) cos cos sin sin cos sin (cos 3 sin )
3 3 3 2 2 2
x x x x x x x

+ = = =
3 3 2 2 3 3
( ) 3 3 ;cos3 4cos 3cosa b a a b ab b x x x = + =
2 2
2
3 3 2
2
3
1)sin sin 2 3cos 3
7
2) 4 3 sin cos 4cos cos 2
2
1
3) 4sin 6cos
cos
4)cos 4sin 3cos sin sin 0
5)cos3 12sin cos 3cos 4sin 0

x x x x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x



+ = + =
+ =
+ =
+ =
+ =
=
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Đs:
; ; ,
6 3
x k x k x k k


= = + = + Z
10) Cách 1: Đặt
3 3 ;sin 3 sin(3 ) sin( 3 ) cos3 ;cos3 sin 3
6 2 2 2
t x x t x t t t x t

= + = = = = =
Cách 2:

= = + Z
Số 5
BàI 6:PHƯƠNG TRìNH Đối xứng
A.Các ph ơng trình cơ bản:
Pt cơ bản:
1) (sin cos ) sin cos 0
2) (sin cos ) sin cos 0
3) sin cos sin cos 0
4) sin cos sin cos 0
a x x b x x c
a x x b x x c
a x x b x x c
a x x b x x c
+ + + =
+ + =
+ + + =
+ + =
Hệ quả:
1) (sin cos ;sin cos ) 0
2) (sin cos ;sin cos ) 0
3) ( sin cos ;sin cos ) 0
4) ( sin cos ;sin cos ) 0
f x x x x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
+ =
=
+ =
=

Khi đó pt(1) có dạng:
2
2
1
( ) 0 2 2 0 (1 )
2
t
at b c bt at c b b

+ + = + + =
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Giải pt(1b) theo ẩn t và chọn nghiệm t=t
0
thoả mãn đk
2 2t

(1 )
0 0
0 0
2 cos( )[ cos( ) arccos( ) 2 ,
4 4 4
2 2
a
t t
t t x t x x k k


= = = = + Z
nếu pt(1b) không có nbghiệm tm đk thì pt(1) vô nghiệm
2)Đặt

2
t
x x t x x t x x t x x

+ = + = + = =
4)Đặt
sin cos 2 sin( ) (4 )
4
x x t x t a

= =
Đk:pt (4a) có nghiệm là
0 2t
Từ
2
2 2 2
1
sin cos ( sin cos ) 1 2sin cos sin cos
2
t
x x t x x t x x t x x

= = = =
B.luyện tập:Giải các phơng trình sau:
1)sin cos 2sin cos 1 0
2)(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2
3) 2cos( ) sin cos 1
4
4)sin 2 2 sin( ) 1
4


+ =
+ =
+ + =
+ =
+ + + =
Đáp án
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
1) 2 ; 2 ,
2
3
2) 2 ; 2 ; 2 ,
2 4
2 2
3) arccos( ) 2 ,
4 2
4) ; 2 ; 2 ,
4 2
5 11
5) 2 ; 2 ; 2 ,
12 12 4
x k x k k
x k x k x k k
x k k
x k x k x k k
x k x k x k k





x k x k k
x k x k k
x k k
x k x k k






=

= + = +
= + = +
= +
= = +
Z
Z
Z
Z
Z
Bài tập về nhà
Giải các ph ơng trình sau:
1) 6(sin cos ) sin cos 6 0
2) (1 sin 2 )(1 cos 2 ) 2
1 1
3) 2 2 sin( )

+ = + +
+ = +
= +
=
+ + = + +
HD và Đáp án:
1)
3
2 ; 2 ,
2
x k x k k


= = +
Z
2)
HD:Đặt
sin 2 cos 2 2 cos(2 )
4
x x t x t

+ = =
Đs:
; ,
4
x k x k k


= = +
Z

sin cosx x t+ =
Đs:
2 ; 2 ,
2
x k x k k


= = + Z
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
8) HD:Đặt
sin 2 cos 2 2 sin(2 )
4
x x t x t

= =
Đs:
; ,
2
x k x k k


= = + Z
9) HD:
2 2
cos 2 cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x= = +
Đs:
; 2 ; 2 ,
4 2
x k x k x k k


( ) 2 (1)
( )( ) (2)
( )( ) ( ) 3 ( ) (3)
( )( ) ( ) 3 ( ) (4)
a b a b ab
a b a b a b
a b a b a ab b a b ab a b
a b a b a ab b a b ab a b
+ = +
= +
+ = + + = + +
= + + = +
3.ví dụ:
4 4 2 2
4 4 2 2 2 2
6 6 2 2
6 6 3
8 8 4 2
1 1 1 3 1
1.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
2 2 2 4 4
2.sin cos (sin cos )(sin cos ) cos 2
3 1 3 5 3
3.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
4 4 4 8 8
1 3
4.sin cos cos 2 cos 2
4 4
1
5.sin cos sin 2 sin 2

2
13
2) cos sin (1 sin 2 )
8
7
3)sin cos
16
17
4)sin cos
32
17
5)sin cos cos 2
16
6)4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4 1
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x x x
+ =
=
+ =
+ =
+ =
+ + =
2 2
3 3
4 4 4
2 2 2 2


+ + + = +
ữ ữ

Đáp số:
1) ,
4
2) ; ,
4 2 6
x k k
x k x k k




= +
= + = +
Z
Z
3) ,
6 2
4) ,
8 4
5) ,
8 4
k
x k
k
x k
k

k k
x x k
x k k
k k
x x k
x k x k k
x k x k x k k










= +
= + = +
= + = +
=
= =
= + = +
= + = + = +
Z
Z
Z
Z
Z
Z

+ + =
2 2 2 2
2 2 2
3 3
2
4 6
6) sin sin 3 cos 2 cos 4
7) sin cos 2 cos 3
8) 4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3
4
9) cos cos( ) 0
3
10) cos cos 2 2sin 0
x x x x
x x x
x x x x x
x
x
x x x
+ = +
= +
+ + =
=
+ =
HD-Đáp án:
1)
,x k k

= Z
2)

x
x x x
x x


+ +
+
+ = = = =
Đs:
; ,
4
x k x k k


= = + Z