Bài 1. Cho X là tập các số thực nằm trong [0,1]. Trên X xây dựng phép toán (*) sau:
a∗b=
ab
1ab
, ∀ a , b∈ X .
Chứng minh rằng (S,*) là vị nhóm giao hoán.
Giải
:,,, xéttaXcba
∈∀
( )
( )
bcacab
abccba
ab
ba
ccba
+++
+++
+
+
=∗=∗∗
11
( )
( )
bcacab
abccba
bc
cb
acba
+++
+++

+
+
+
+
Từ đó ta suy ra (X,*) là vị nhóm giao hoán. (đpcm)
Do đó (X,*) có tính kết hợp.
0 là phần tử trung hòa của (X,*)
Do đó (X,*) giao hoán.
Bài 2. Trong tập
NNX
×=
, ta định nghĩa một phép toán (*) như sau:
(m,n)*(k,l)=(m+k,2
k
n+l).
Chứng minh rằng:
a) (X,*) là vị nhóm.
b) Phép toán (*) trong X là chính quy.
Giải
a) Giả sử (m,n), (k,l) và (p,q)
∈
X. Ta có:
[(m,n)*(k,l)]*(p,q) = (m+k,2
k
n+l)*(p,q)
= (m+k+p,2
p+k
n+2
p
l+q)

2
)
∈
X, ta xét:
(a
1
,a
2
)* (b
1
,b
2
) = (a
1
,a
2
)* (c
1
,c
2
)
⇔
( a
1+
b
1
,2
b
1
a