BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT NHÓM
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Lê Thị Đồ
ThS.Nguyễn Hoàng Xinh MSSV: 1050023
Lớp: Sư phạmToán 01-K31
CẦN THƠ 2009
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Ngày….. tháng…năm 2009

Giáo viên phản biện
Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bị
một lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làm
việc.

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán đã
tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ ích
phục vụ cho luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn
Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gian qua.
Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ
em hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi sai sót, em rất mong

D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................43
CHƯƠNG V. NHÓM LŨY LINH.......................................44
A. Lý thuyết..........................................................................................44
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp......................................47
C. Một số bài tập có lời giải.................................................................47
D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................55
CHƯƠNG VI. NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC........................56
A. Lý thuyết..........................................................................................56
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp......................................56
C. Một số bài tập có lời giải................................................................56
D. Một số bài tập rèn luyện..................................................................66
CHƯƠNG VII. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH..............67
A. Lý thuyết.......................................................................................67
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp...................................67
C. Một số bài tập có lời giải..............................................................68
D. Một số bài tập rèn luyện................................................................75
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM THẢO
PHẦN MỞ DẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình, chúng em đã được học môn “ Lý Thuyết Nhóm”. Nhưng
do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu một số
nhóm và làm một số bài tập. Đối với em, lý thuyết nhóm là một môn rất hay và tạo
cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi , biết nhiều hơn
về lý thuyết nhóm.

Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Một
số bài tập lý thuyết nhóm” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết
nhóm.
2. Mục đích nghiên cứu

ii) Tồn tại phần tử
Xe
∈
sao cho
Xx
∈
, ta có e*x = x*e = x
iii) Mọi phần tử
Xx
∈
luôn tồn tại
Xx
∈
,
sao cho
exxxx
==
**
,,

Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
1.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm)
Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi
Xcba
∈
.,
. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) X là nhóm
ii) Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b
X

≤
.
Dễ thấy tập hợp chỉ gồm một phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm
và được gọi là nhóm đơn vị . Kí hiệu là 1 hoặc {e}
Nếu
H
G
≤
,
H
1
≠
,
H
G
≠
thì H được gọi là nhóm con thực sự của G.
Kí hiệu
GH
<
2.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con)
Cho
GH
⊂
,
H
≠
Ø. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i)
GH

GNH
<<
.
ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu
1
≠
H
và không tồn tại
GK
≤

sao cho
HK
<<
1
.
3. Nhóm con chuẩn tắc
3.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm và
GH
≤
. Ta nói rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G
hay H là ước chuẩn của G nếu mọi
Gx
∈
ta có Hx = xH. Kí hiệu H
G
3.2. Một số tính chất
i) Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc
ii)Cho

iv) Giao một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là một
nhóm con chuẩn tắc của nhóm G
v) Cho G là nhóm, H
G
và
GK
≤
. Khi đó KH là nhóm con nhỏ nhất của G
chứa H và K ( theo nghĩa bao hàm ) và KH = HK
vi) Cho
n
HHH ,...,,
21
là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó
GHHH
n
...
21
.
4. Nhóm thương
Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì X/A = { xA
Xx
∈
}
cùng với phép toán xAyA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Chứng minh tập khác rỗng X cùng một phép toán hai ngôi ( . ) lập
thành một nhóm.
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

⊆≠
(ii) Mọi
Hyx
∈
,
, ta có
Hxy
∈
và
Hx
∈
−
1
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Ø
XH
⊆≠
(ii) Mọi
Hyx
∈
,
, ta có
Hxy
∈
−
1

Bài toán 3. Chứng minh tập H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( X, .)
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

:
là một đồng cấu nào đó
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Trong tập Q, ta định nghĩa phép toán (*) :
a*b = a + b + ab, mọi
∈
ba,
Q
a) Hỏi ( Q,*) có lập thành nhóm không ? Tại sao ?
b) Chứng minh rằng nếu a, b
∈
Q\{-1} thì a*b
∈
Q\{-1}
c) Chứng minh rằng ( Q\{-1},*) lập thành một nhóm.
Giải.
a) Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của ( Q,*). Giả sử ( Q,*) lập thành nhóm. Suy
ra -1
∈
( Q,*) luôn có phần tử nghịch đảo là b. Khi đó 0 = (-1) * b = (-1) + b + (-1)b
= -1. Điều này vô lý . Nên ( Q,*) không lập thành nhóm.
b) Gọi a, b
∈
Q\{-1}. Giả sử a * b = -1, khi đó a + b + ab =1
1
1
1
−=
+
−−

1
111
**
222
=
+
−−+
=
+
−
+
−+
=






+
−
+






+
−


2009
*
ab
ba
=
, mọi a, b
∈
Q
+
Chứng minh rằng (Q
+
, *) lập thành nhóm Abel.
Giải.
• Ta có Q
+
≠
Ø, Q
+
ổn định đối với phép toán (*)
• Mọi
∈
cba ,,
Q
+
, ta có:
( )
2
2009
*

Suy ra
( ) ( )
cbacba ****
=
. Suy ra Q
+
có tính kết hợp.
• Dễ thấy phần tử đơn vị e = 2009. Vì với mọi a
∈
Q
+
, ta có:
a
a
a
==
2009
2009.
2009*
và
a
a
a
==
2009
.2009
*2009
Vậy Q
+
có phần tử đơn vị là e = 2009






==Do đó mọi
∈
a
Q
+
có nghịch đảo
a
a
2
,
2009
=
Vậy (Q
+
,*) lập thành một nhóm.
• Mặt khác mọi
∈
ba,
Q
+
, ta có
xy

01
Q





Chứng minh rằng X lập thành một nhóm với phép nhân các ma trận.
Giải.
• Ta có
X
∈










100
010
001
nên X
≠
Ø
• Giả sử A =
X



100
010
01
,
∈
y
Q
Ta có AB =










100
010
01 x

















−
100
010
01 x
. Thật vậy
=
,
AA










100
010
01 x

==










3
100
010
001
I
AA
,
.
Mà
XA
∈
,
.
Vậy X là nhóm con của GL
3
(R). Do đó ( X, .) lập thành một nhóm.
Bài 4. Trong nhóm GL
2
( R ), xét tập con H =





10
01
. Giả sử
H
a
∈






=
10
1
α
và
H
b
∈







10
1
10
1
10
1
αβ
( vì a
∈
R, b
∈
R nên a + b
∈
R ) và






−
=
−
10
1
1
a
α
. Thật vậy
αααα


=
I
aa
.
Mà
H
∈
−
1
α
( do a
∈
R nên -a
∈
R ).
Vậy H là nhóm con của GL
2
( R ).
Bài 5. Trong nhóm GL
3
(R), xét tập con H =
{
∈
A
GL
3
(R)
1det
=

1
1
det
1
==
A
. Suy ra A
-1
∈
H
Vậy H
≤
GL
3
(R).
Giả sử C
∈
GL
3
(R), khi đó det C = 1 và det C
-1
= 1
Ta có det ( CAC
-1
) = det C. det A. det C
-1
=1. Suy ra CAC
-1
∈
H

∈
α
nên
Ae
∈
. Vậy
≠
A
Ø
Với x, y
A
∈
, thì x, y
α
X
∈
, với mọi
I
∈
α
nên xy
1
−
α
X
∈
với mọi
I
∈
α

nhưng
21
23
)()( XXxxxgxf
∪∉+=+
Do đó
21
XX
∪
không là nhóm.
Bài 7. Chứng minh rằng trong một nhóm có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn
có một phần tử là nghịch đảo cuả chính nó.
Giải. Giả sử nhóm A có 2n phần tử A=
{ }
2210
,....,,,
−
n
aaae
Nhận xét nếu
lk
aa ,
đều có nghịch đảo là
m
a
thì
mlmk
aaeaa
==


⇒
Ta có
1
−
A
= {
Aaa
∈
−
1
}. Khi A là nhóm con của X thì
AA
⊂
−
1
Vì
AA
⊂
−
1
nên
AAA
⊂
−
1
Mặt khác, mọi
Aa
∈
ta có
11

Bài 9. Cho A, B là nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng
BA
∪
là nhóm con
của X khi và chỉ khi
BA
⊆
hoặc
AB
⊆
.
Giải.
)(
⇐
Giả sử
BA
⊆
hoặc
AB
⊆
. Khi đó
BA
∪
B
=
hoặc
BA ∪
A
=
.


∈=
∈=
⇒



∈
∈
⇒∪∈
−
−
Baabb
Ababa
Bab
Aab
BAab
1
1
Điều này vô lý vì
ABbBAa \,\
∈∈
Vậy ta phải có
BA
⊆
hoặc
AB
⊆
.
Bài 10. Cho X là nhóm và

= a
-1
b
-1
thì (ab)
-1
(ab) = e
⇒
(ba)
-1
(ba) = e = (ab)
-1
(ba)
( do (ba)
-1
= a
-1
b
-1
= (ab)
-1
). Suy ra
( ) ( )
baababab
11
−−
=
. Do đó ab=ba ( luật giản
ước). Ngược lại nếu ab = ba, với mọi a, b
∈

=
2
, mà
( )
22
2
baab
=
nên
( )
baabaabbbaababab
=⇒===
22
2
( luật giản ước )
( )
⇐
Ta có
( )
ababab
=
2
, mà
baab
=
nên
( )
22
2
baaabbab

22
2
baab
=
thì
baab
=
( theo bài 11).
Vậy X là nhóm Abel.

Bài 13. Cho H, K là các nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng HK=KH khi và
chỉ khi HK là nhóm con của X, trong đó
=
HK
{ }
KkHhhk
∈∈
,
và
{ }
HhKkkhKH
∈∈=
,
Giải.
( )
⇒
Giả sử
11
kh
,

=
. Nên
( )( ) ( )
( )( )
HKkkhhkhkhkhkh
∈==
2
,
1
,
2122112211
. Mặt khác mọi
HKa
∈
, ta có
hka
=
,
KkHhKkHh
∈∈⇒∈∈
−−
11
,),(
Lấy
HKKHhkb
=∈=
−−
11
. Ta có
HKabHKebaab

. Mặt khác, giả sử
KHhkm
∈=
11

),(
11
HhKk
∈∈
. Lấy
HKnHKkhn
∈⇒∈=
−−−
11
1
1
1
( HK là nhóm).
Ta có
HKnmHKenmmn
∈=⇒∈==
−
1
. Do đó
HKKH
⊂
. Vì thế HK = KH
Bài 14. Giả sử A là nhóm Abel, với mỗi số tự nhiên n> 1, ta đặt
{ }
exAxA

( ) ( )
eyxyx
nn
n
nn
===
−
−
1
1
( do A là nhóm Abel), nên
n
Axy
∈
−
1
.
Hiển nhiên e
n
A
∈
nên
≠
n
A
Ø
Vậy
n
A
là nhóm con của nhóm A.

{ }
eAA
nm
=∩
Bài 15. Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng các số nguyên Z là
nhóm con của Z khi và chỉ khi A = mZ, với
m
∈
Z
Giải.
( )
⇐
Hiển nhiên A = =mZ = { mk
∈
k
Z } là nhóm con của Z
( )
⇒
Giả sử A là nhóm con của nhóm ( Z, +)
Nếu
{ }
0
=
A
thì A= 0Z
Nếu
{ }
0
≠
A

Vậy A= mZ
Bài 16. Cho một họ những nhóm
( )
Ii
i
X
∈
mà các phép toán ký hiệu bằng dấu nhân.
Chứng minh tập hợp tích Descartes
i
Ii
X
∈
Π
với phép toán xác định như sau:
( ) ( ) ( )
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
yxyx
∈∈∈
=
là một nhóm
Giải. Đặt
( )
{ }
IiXxxXX

Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
Ii
i
zyxzyxzyxzyx
====
∈∈∈∈∈∈
γαβ
Ii
∈
=
( ) ( ) ( )
[ ]
α
=
∈∈∈
Ii
i
Ii
i
Ii
i
zyx
( )

Ii
ii
Ii
i
Ii
i
Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
xexexe
xxexee
Giả sử
( )
Xx
Ii
i
∈=
∈
α
, khi đó
( )
Ii
i
x
∈

i
====
∈∈
−
∈∈
−
1
1
,
αα
Vậy X là một nhóm.
Bài 17. Cho X là tập tùy ý. Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X.
Với phép nhân ánh xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ?
Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến X
là một nhóm với phép nhân các ánh xạ. Hãy tìm số phần tử của S(X) trong trường
hợp X có n phần tử ( n
∈
N, n
≥
1 )
Giải.
• Ta có phép nhân các ánh xạ có tính kết hợp và ánh xạ đồng nhất là phần tử
đơn vị.
Nếu X = {0, 1, 2} và f:
XX
→

0x
Khi đó f
∈

X
ffff 1
11
==
−−
Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ.
• Giả sử
{ }
n
xxxX ,....,,
21
=
. Với mỗi hoán vị
( )
inii
xxx ,....,,
21
của X ta có
một song ánh f :
XX
→
xác định bởi:
( )
ijj
xxf
=
,
nj ,1
=
. Đảo lại, với mỗi song

Mặt khác
( ) ( )( ) ( ) ( )
YYYffYffYf
X
====
−−−
1
111
Vậy
( )
YXSf ,
1
∈
−
nên S(X,Y) là nhóm con của S(X).
Nếu X có n phần tử và Y có một phần tử thì S(X,Y) có (n-1) ! phần tử, nó ứng
với số các hoán vị của n-1 phần tử của tập X\Y.
Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có phần
tử là k!(n- k) !
D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Cho X = R






−
2
1






=
1,
0
0
ab
b
a
H
Chứng minh rằng H là nhóm con của GL
2
(R).
4) a) Cho
( )( ) ( )( )
5261834,4568123,,
8
==∈
βαβα
S
. Tính
αβαβα
,,
23
.
b) CMR:
( )( ) ( )( ) ( )( ){ }

7) Các mệnh đề sau đúng hay sai:
a) Cho G là nhóm,
GKH
≤
,
, nếu HK=KH thì
GHK
≤
b) Với e là phần tử đơn vị của G. Nếu y
2
=e với mọi
Gy
∈
thì G là nhóm
Abel.
c) X là nhóm,
≠⊆
AXA ,
Ø. Nếu
XA ≤
thì AA
-1
=A.
d) Cho (G, .) là một nhóm, với
Gzyx
∈
,,
.
Nếu xy = xz thì y = z.
e) Cho G là nhóm, nếu H là tập con của G,

Z(G)=
{ }
GaaxxaGx
∈∀=∈
,
1.2. Tính chất
Cho G là nhóm. Khi đó
i) C(A)
G
≤
ii) Z(G)
G
2. Định nghĩa
Cho G là nhóm , với
Gyx
∈
,
ta gọi
xyyx
11
−−
là một hoán tử của G
Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được kí hiệu là
[ ]
GG,
.
Nếu G là nhóm thì
[ ]
GGG ,
3. Định nghĩa

>= <
aG
. Khi đó xảy ra hai trường hợp
sau
i) Tất cả các lũy thừa a
m
(
∈
m
Z ) khác nhau đôi một. Trường hợp này G là
nhóm xiclic vô hạn.
ii) Tồn tại những lũy thừa bằng nhau. Chẳng hạn a
k
= a
l

( )
lk
≠
thì G là nhóm
xiclic hữu hạn
6. Cấp của phần tử
6.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm
i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là
G
.
Nếu
G
hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại G được gọi là

∈
Z sao cho x
k
= e. Ta chứng minh n|k.
Bài toán 2. Cho x thuộc nhóm G. Chứng minh x có cấp vô hạn
Phương pháp giải. Lấy mọi m, n thuộc Z sao cho m
≠
n. Ta cần chứng minh x
m
≠
x
n
.
Bài toán 3. Cho G là nhóm cấp n. Chứng minh G xylic
Phương pháp giải:
Cách 1. Lấy mọi y
∈
G. Ta cần chỉ ra phần tử a
∈
G sao cho y = a
k
, k
∈
Z
Cách 2. ta cần chứng minh tồn tại a
∈
G sao cho |a| = n
Bài toán 4. Chứng minh G là nhóm hữu hạn sinh
Phương pháp giải. Ta cần chỉ ra tập S
⊆

xxx ...
21
21
|
∈∈
ii
nkSx ,,
Z, i=
k,1
}
Ta sẽ chứng minh H=<S>.
Thật vậy, lấy hai phần tử x,y bất kỳ thuộc H. Khi đó
lk
m
l
m
m
n
k
nn
yyyyxxxx ...;...
2121
121
==
, với
nSyx
ji
;,
∈
∈

−
==
.
Hay
lk
m
l
mm
n
k
nn
yyyxxxxy
−
−−
−
=
......
2121
2121
1
. Do đó
Hxy
∈
−
1
, nên
GH
≤
Hiển nhiên ta có
GS

nên
,
Hx
i
n
i
∈
. Suy ra
,
21
...
21
Hxxx
k
n
k
nn
∈
hay
,
Hx
∈
. Do đó
,
HH
⊂
. Theo định nghĩa của
nhóm con sinh bởi tập hợp thì
>= <
SH

n
k
nn
xxxx ...
21
21
=
, với
∈∈
knAx
ii
,;
Z, i=
n,1
. Hay
k
n
k
nn
xxxx ...
21
21
=
, với
∈∈
knBx
ii
,;
Z, i=
n,1

BAx
i
∪>∈<
,
i
n
,
k
∈
Z, i=
k,1
.
Nếu
Bx
i
∈
,
ki ,1
=∀
thì
>∪∈ <
BAx
Nếu
kiAx
i
,1,
=∀>∈<
thì
>∪∈ <
BAx

, với
klj ,1
+=
(vì
>∪> ⊂ <<
BAA
và
)>∪⊂< BAB
.
Suy ra
>∪∈ <
BAx
Do đó
>∪> ⊂ <∪>< <
BABA
(2.2)
Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra
>∪>> = < <∪<
BABA
Tương tự ta được
>><∪>=<∪<
BABA
Do đó
>><∪>>=<<∪<
BABA
Vậy
BABA
∪>>=<<∪<
>=<A
><∪

(k>1). Đặt
i
k
i
AA
1
=
∪=
Suy ra
>∪>=<<
=
i
k
i
AA
1
Hay
>><∪>=<<
=
i
k
i
AA
1
. Do đó
>∪> =<∪∪<
++
+
=
11

1
1
1
1
1
1
1
Vậy theo nguyên lý qui nạp thì
>><∪>=<∪<
==
i
n
i
i
n
i
AA
11
Bài 3. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng:
a) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì
>∪= <
HKHK
và HK=KH
b) Nếu
niGH
i
,1,
=≤
và
1,1,

i
n
i
ni
HHHHniGH
1
21
...,,,1,
Giải. a) Ta chứng minh
>∪= <
HKKH
.
Thậy vậy, ta có KH khác rỗng ( do K và H khác rỗng).
Lấy k
1
h
1
, k
2
h
2
bất kỳ thuộc KG với k
1
, k
2
thuộc K; h
1
, h
2
thuộc H. Khi đó

HkhhkHhh
∈∈
−−−
1
2
1
212
1
21
,
. Do đó
( )
( )
KHhkhk
∈
−
1
2211
. Vậy
GKH
≤
Lấy x bất kỳ thuộc
HK
∪
. Khi đó x thuộc K hoặc x thuộc H . Nếu x thuộc K
thì
KHxex
∈=
(vì e
H

MHKHh
MHKKk
nên
Mkh
∈
( vì
GM
≤
). Do đó
MKH
⊂
Vậy
>∪= <
HKKH

Ta chứng minh KH=HK. Thật vậy, lấy kh bất kỳ thuộc KH với
HhKk
∈∈
,

thì kh=khk
-1
k. Vì
GH 
nên
Hkhk
∈
−
1
, do đó

=
i
k
i
k
HHHH
1
21
...
, với k>1, trong đó
1,1,,,1,
−==≤
kjGHkiGH
ji

.
Ta chứng minh
>∪=<
+
=
+
i
k
i
k
HHHH
1
1
121
...

nên theo kết quả câu a) ta có
>∪> > = <<∪> = <∪= <
SHSHHHHH
1111
(do bài 2) . Vì thế
>∪=<
+
=
+
i
k
i
k
HHHH
1
1
121
...
. Vậy
>∪=<
=
i
n
i
n
HHHH
1
21
...
và

, …, x
n
> ;
>=<
m
yyyHG ,...,,/
21
. Ta chứng minh
>=<
mn
yyyxxxG ,...,,,,...,,
2121
. Đặt
>=<
mn
yyyxxxK ,...,,,,...,,
2121
. Lấy g
bất kỳ thuộc G.
Nếu
Hg
∈
thì
Kg
∈
( vì
KH
⊂
)
Nếu

=
. Do đó
( )
Hyyyg
l
m
l
mm
∈
−
1
21
21
. Nên
( )
kl
n
k
nn
m
l
mm
xxxyyyg ...
2121
21
1
21
=
−
. Suy ra

( 5.1).
Lấy g bất kỳ thuộc G.
Trường hợp
Hg
∈
. Giả sử tồn tại x thuộc G\H sao cho
Hgx
∈
. Khi đó
hgxHh =∈∃ :
. Do đó
Hhgx
∈=
−
1
( do
GH
≤
) ( mâu thuẫn
HGx \
∈
) . Nên
HGxHgx \,
∈∀∉
. Hay
HGgx \
∈
. Do đó
>∈ <
HGgx \

.
Giải.
( )
⇒
Giả sử tồn tại
exxxnmnm
nmnm
=⇒=>
−
:,,
Đặt d = m – n , d > 0.
Lấy
k
ayxy
=>⇒∈<
( k
∈
Z).
Chia k cho d ta được k = dp + r với
10
−<≤
dr