phần I

con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ
chuyển động đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ
cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng
xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.

(cm/s) theo phương
thẳng đứng hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c
dương hướng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.

Lời giải
a) Tại VTCBO
kl = mg
 l =
0,04
25
0,1.10
k
mg

(m
+  =
 5105
1,0
25


l
l
0
0(VTCB
))
x
- l
•
•
•
+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên
thì v<0.
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5t +
6
5

)
 sin (5t +
6
5

) =
2
1


5t +
6

4
( mét)
Chiều dương 0x hướng xuống  x >0
Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E =
3
10.25
2
2
1
2
2
1

 mvkx
(J)
Ta có phương trình:

322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1


4
3
Rađ
-25 = 25Acos; cos<0 A =
2
cm
Vậy phương trình điều hoà là x =
)
4
3
t25sin(2


(cm)

Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
được gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò
xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng
ngang. Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật

Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB

1
L
2
M

Vậy x =









2121
11
kk
F
k
F
k
F

Mặt khác F = - kx 
kkk
111
21



)(
.
21
21





kkm
kk
m
k
(Rad/s)
Khi t = 0 x = 10cm>0
v = 0 cm/s
Ta có hệ 10 = Asin ; sin >0  =
2


0 = Acos ; cos = 0 A = 10 (cm)
Vậy phương trình dao động là
x = 10sin (10t +
2

) (cm)
2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
 Lực phục hồi cực đại F
max

tổng cộng)
F = 2F
0
 -Kx = -2kx
 K = 2k
+ Tại VTCB:

P
+

P2
=

0

Hay mg - 2kl
o
= 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn l = x + l
0

Hợp lực:

P
+

 FF2
dh

mg - 2k(l

3
2
2

cm
Ta có hệ 3 = 5sin sin = 0,6
-40
2
= 10
2
.5.cos cos  = -0,8

k
0
F

k
0
F

P

+
m
O
•
 


143,13

Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được
nối vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L
1
, L
2
có độ cứng k
1
= 60N/m, k
2
=
40 N/m. Người ta kéo vật đến vị trí sao cho L
1
bị dãn một đoạn

l = 20 (cm)
thì thấy L
2
không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc
ban đầu. Bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại VTCB,
chiều dương hướng từ A

B,chọn t = 0 là lúc thả vật.
a) CM vật DĐĐH?
b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lượng toàn phần E.
c) Vẽ và tính cường độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại
A, B ở thời điểm t=
2
T
.



0
+
x
G
x
l = l
1
+ l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201


FFFFNP

Hay + K
1
l
1
- k
2
l
2
= 0 (2)
+ Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L
1
là (l

 x
m
kk
với 2 =
m
kk
21



Vậy x = Asin (t + ) (cm)  vật DĐĐH
b)  =

10
1,0
4060
21




m
kk
(Rad/s)
+ Biên độ dao động A = l
2
(vì A =
2
2
2

) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22





(s)
Năng lượng
E =
72,0)012.(,100.
2
1
2
1
22
KA
(J)
  =
2
c) Vẽ và tính cường độ các lực
+ Khi t =
1,0
2

F
2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (

21
,FF
cùng chiều dương)

Bài 6: Cho hai cơ hệ được bố trí như các
hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật
nặng có khối lượng m, m = 100g; bỏ qua ma
sát khối lượng của r
2
và lò xo dây treo k dãn.
Khối lượng k đáng kể.
1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật
ở VTCB.
2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng
rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật.

Lời giải
1) Hình a
+ Chọn chiều dương ox hướng xuống, gốc 0 tại VTCB
+ Phương trình lực

 0
00
FT
0
T

O


P


0
F

0
(VB)
+
x

0
T

 T
0
= kl = mg = 0,1.10 = 1  T
0
= 1N
l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
Chọn chiều dương hướng xuống, O là VTCB

Chiếu lên Ox -T

m
k
 x = Asin (t + )  vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn l 
2
1
kl - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn l +
2
x

mg - T = F
2T - k(l +
2
x
) = 0
 F = mg -
2
1
kl -
x
k
4
 F =
x
k
4


 

1
không với khối lượng m trong
quá trình dao động (g = 10m/s
2
)

Lời giải
Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = 
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
= 
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g  
2
A < g  A<
2
g

1
mM

k
o
v

m
0
2) Giả sử M đang dao động như câu trên thì có 1 vật m
0
= 50g bắn vào M
theo phương ngang với vận tốc
o
v
. Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy
ra tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn
o
v
, biết rằng sau khi va
chạm m
0
gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.

1
5
1
.
3



(s)
V
TB
=
)(30 scm
t
S


2 - Theo câu 1, M có li độ x
0
= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn
nhất
+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lượng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o

•
•
Lại có v =
2
0
2''
)( xA 


= 40
2
(m/s)
Từ (1)  v
0
 =
05,0
240).5,02,0(
)(
0



m
vmM
= 200
2
(cm/s)

Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h =
10cm tiết diện s = 50cm

0
=
k
Fmg
A0

(1)
Với F
0A
= Sh
0
Dg
 l
0
=
150
10.10.05,0.10.5010.4,0
34

= 0,01 (m) = 1 (cm)
2) Chứng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn l
0
+ x
A0
Fdh0
F

0
- SDgx - kx
F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx
''
 mx
''
= - (SDg + k)x  x
''
= 
2
.x với 
2
=
m
KSDg 

 x = Asin (t + ) vậy vật dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T =
15010.10.10.50
4,0
22
2
34








Lời giải
1 - Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho
đến lúc dừng lại ở đây cơ năng E =
 SFKA
ms
.
2
1
2
.mg.S
 S =
m
mgM
KA
(2
10.02.,1,0.2
1,0.80
.
.
2
1
22

)
2 - Độ giảm biên độ
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A
1
sau
2

k
mg.2


Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A
3
thì A
2
- A
3
=
k
mg.2


Vậy A =
k
mg.4

= const
3 - Thời gian dao động
Tính A: A =
01,0
80
10.2,0.1,0.4

(m) = 1 cm
Số chu kì thực hiện được : n =
10
A

dài l
1
- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.

Lời giải
+ Con lắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
g
l
.2
1

 l
1
=
g.
4

2
có chu kì T
3
= 2.
g
ll
21


 l
1
+ l
2
=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'




(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l
1

1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2
42,1
10
51,0

(s)
T
2
= 2
1,1
10
3,0

(s)
Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi
VTCB một góc 
0
rồi thả không vận tốc đầu.
1. Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc  suy ra BT vận tốc cực đại.
2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc . Suy tab t lực căng dây cực
đại, cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g, 


(v
2
= 2gl (1 - cos)
với h
0
= l(1 - cos)
h = l(1 - cos)
 v
2
= 2gl (cos - cos
0
)
Vậy độ lớn vt :  v  =
)cos(cosgl2
0


Vì cos = 1- 2sin
2

2

khi << cos =
2
1
2






+ áp dụng số:
 v
max
= 6.
33,01.10.
180


(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc 
+ Định luật 2 N
maTPF 

Chiều lên phương dây treo
F
th
= -mg.cos +T = m
aht
T = mgcos + m.
l
v
2
= m (gcos +
l
v
2
)
v

1
1
150
6
2

















(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi  = 
0
, vật ở VT biên
T
min
= mg (1 -
2




(N)

Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng
m. Khi con lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban
đầu v
0
lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc
của vật nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc .
Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.

Lời giải
* Vận tốc tương ứng với li góc 
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác 
Bằng động năng của con lắc ở VTCB

2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1



gl2v 

I

h
l
T
l
0
v

P
l
+ Vận tốc cực đại khi  = 0   v
max
 = v
0
, vật ở VTCB
Thay số  v
max
 = 1m/s
+ Vận tốc cực tiểu khi  = 
0

v
0
= 
0

gk









+ Khi  nhỏ: cos = 1 -2sin
2
2


= 1 -
2
2


T = mg
)
2
3
1
gl
v
(
2
2
0


)
gl2
v
1(mg)
gl
v
.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0


áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2


.
= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2
1
g
l
.0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1


T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)

2
'
g
l
=
2
1
'
2
g
g
l
l
g
l


Thay số:
 l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lượng là
l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4

nhỏ của con lắc trong các trường hợp.
a) Véctơ
E
hướng thẳng xuống dưới
b) Véctơ
E
có phương nằm ngang.

Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T
0
= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
. 
= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrường đều
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP 
: Trọng lực
T: lực căng của dây

EqF
d

: lực điện trường

E
, tức
là thẳng đứng xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phương
thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ

 mg
'
= mg + qE
 g
'
= g +
m
qE

+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc
T
'
= 2
m
qE
g
1
2
g
1

+)
d
E
có phương  với
P

Khi CB, dây treo lệch góc

so với phương thẳng đứng, theo chiều của lực
điện trường.
tg

=
mg
qE
P
F
d


 tg

=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34




Do đó: T
’
= 2


 cosT
g
cosl
.
0

 T
'
= T
0
97,114cos2cos
0


(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga =
10m/s
2
. Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều
trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc 
0
= 9

0
amF 

Khi con lắc ở VTCB

0FTP
q


q
F
ngược chiều với
0
a
nên ngược chiều với
0
v

Vậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc  về phía ngược với chiều chuyển
động của xe.
tg =
g
a
mg
ma
P
F


F

'
P

P

0
a

0
v

Từ hình vẽ P
'
=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'





Vậy T = T
0
cos

Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối
lượng m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc 
0
= 6
0
rồi thả
nhẹ cho dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn
coi như không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là  = 3
0
coi
chu kỳ dao động của con lắc như khi không có lực cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lượng
không đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma
sát tối thiểu là len. (g = 10m/s
2
, 
2
= 10).

Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lượng không đổi
+ Lúc đầu, li giác cực đại là 
0
, cơ năng của con lắc là: