BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT NHÓM
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Lê Thị Đồ
ThS.Nguyễn Hoàng Xinh MSSV: 1050023
Lớp: Sư phạmToán 01-K31
CẦN THƠ 2009
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
Ngày….. tháng…năm 2009

Giáo viên phản biện
Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bị
một lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làm
việc.

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán đã
tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ ích
phục vụ cho luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn
Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gian qua.
Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ

B. Các phương pháp chứng minh thường gặp.....................................36
C. Một số bài tập có lời giải...............................................................37
D. Một số bài tập rèn luyện................................................................43
CHƯƠNG V. NHÓM LŨY LINH........................................44
A. Lý thuyết.......................................................................................44
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp.....................................47
C. Một số bài tập có lời giải...............................................................47
D. Một số bài tập rèn luyện................................................................55
CHƯƠNG VI. NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC.........................56
A. Lý thuyết.......................................................................................56
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp.....................................56
C. Một số bài tập có lời giải..............................................................56
D. Một số bài tập rèn luyện................................................................66
CHƯƠNG VII. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH..............67
A. Lý thuyết....................................................................................67
B. Các phương pháp chứng minh thường gặp..................................67
C. Một số bài tập có lời giải.............................................................68
D. Một số bài tập rèn luyện..............................................................75
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM THẢO
PHẦN MỞ DẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình, chúng em đã được học môn “ Lý Thuyết Nhóm”. Nhưng
do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu một số
nhóm và làm một số bài tập. Đối với em, lý thuyết nhóm là một môn rất hay và tạo
cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi , biết nhiều hơn
về lý thuyết nhóm.

Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Một
số bài tập lý thuyết nhóm” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết

∈
X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c
ii) Tồn tại phần tử
Xe∈
sao cho
Xx∈
, ta có e*x = x*e = x
iii) Mọi phần tử
Xx ∈
luôn tồn tại
Xx ∈
,
sao cho
exxxx == **
,,

Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
1.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm)
Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi
Xcba ∈.,
. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) X là nhóm
ii) Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b
X∈
iii)Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo
trái
iv) Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo
phải
1.3. Định lý
Cho (X,.) là một nhóm thì ta có các khẳng định sau:

≠
thì H được gọi là nhóm con thực sự của G.
Kí hiệu
GH <
2.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con)
Cho
GH
⊂
,
H
≠
Ø. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i)
GH ≤
ii) Mọi
yx,
,H∈
thì xy
H∈
và x
H∈
−1
iii) Mọi
yx,
,H∈
ta có xy
H∈
−1
2.3. Định nghĩa
Cho G là nhóm,

≤
, khi đó H
G
khi và chỉ khi
Hxhx ∈
−1
hoặc
Hhxx ∈
−1
,với mọi
Hh ∈
, với mọi
Xx∈
.
iii) G là nhóm, H
G
,
GK
≤
thì
KKH ∩
iv) Giao một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là một
nhóm con chuẩn tắc của nhóm G
v) Cho G là nhóm, H
G
và
GK ≤
. Khi đó KH là nhóm con nhỏ nhất của G
chứa H và K ( theo nghĩa bao hàm ) và KH = HK
vi) Cho

,
sao cho
xx
exx ==
,,
Cách 2. Ta chứng minh ( X, . ) là một nhóm con của nhóm ( Y, . ), trong đó (
Y, . ) là nhóm đã biết
Bài toán 2 . Chứng minh tập H là nhóm con của nhóm ( X, .)
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Ø
XH ⊆≠
(ii) Mọi
Hyx ∈,
, ta có
Hxy ∈
và
Hx ∈
−1
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) Ø
XH ⊆≠
(ii) Mọi
Hyx ∈,
, ta có
Hxy ∈
−1

Bài toán 3. Chứng minh tập H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( X, .)
Phương pháp giải:

Q\{-1} thì a*b
∈
Q\{-1}
c) Chứng minh rằng ( Q\{-1},*) lập thành một nhóm.
Giải.
a) Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của ( Q,*). Giả sử ( Q,*) lập thành nhóm. Suy ra
-1
∈
( Q,*) luôn có phần tử nghịch đảo là b. Khi đó 0 = (-1) * b = (-1) + b + (-1)b =
-1. Điều này vô lý . Nên ( Q,*) không lập thành nhóm.
b) Gọi a, b
∈
Q\{-1}. Giả sử a * b = -1, khi đó a + b + ab =1
1
1
1
−=
+
−−
=⇔
a
a
b
( trái giả thiết a, b
≠
-1). Nên a * b
≠
-1. Vậy a * b
∈
Q\{-1}.

−+
=






+
−
+






+
−
+=






+
−
=
a

, *) lập thành nhóm Abel.
Giải.
• Ta có Q
+
≠
Ø, Q
+
ổn định đối với phép toán (*)
• Mọi
∈cba ,,
Q
+
, ta có:
( )
2
2009
*
2009
**
abc
c
ab
cba =






=

2009.
2009*
và
a
a
a ==
2009
.2009
*2009
Vậy Q
+
có phần tử đơn vị là e = 2009
• Với a
∈
Q
+
có phần tử nghịch đảo là
a
a
2
,
2009
=
. Vì
aa
a
a
aa
aa *2009
2009

=
Vậy (Q
+
,*) lập thành một nhóm.
• Mặt khác mọi
∈ba,
Q
+
, ta có
xy
yxxy
yx *
20092009
* ===
Suy ra (Q
+
,*) lập thành nhóm giao hoán.
Bài 3. Cho X =
∈












100
010
001
nên X
≠
Ø
• Giả sử A =
X
x
∈










100
010
01
,
∈x
Q và B =
X
y
∈











100
010
01 y
=










+
100
010
01 xy
X∈
( do y +x
∈


100
010
01 x










−
100
010
01 x
=
=











Bài 4. Trong nhóm GL
2
( R ), xét tập con H =
∈









x
x
,
10
1
R



.
Chứng minh rằng H là nhóm con của GL
2
( R ).
Giải. Ta có H
≠
Ø vì
H∈



=
10
1
β
.
Ta có
H
baba
∈






+
=












. Thật vậy
αααα
1
2
1
10
01
10
1
10
1
−−
==






=






−




(R).
Giải. Ta có H
≠
Ø vì I
3

∈
H và H
⊂
GL
3
(R).
Giả sử A, B
∈
H, khi đó det A = 1, det B = 1.
Ta có det (AB) = det A.det B = 1.1 = 1. Suy ra AB
∈
H
Ta có det A = 1 nên tồn tại
1−
A
và det A
-1
=
1
1
1
det
1
==

Bài 6. a) Chứng minh rằng giao của một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là
một nhóm con của nhóm X.
b) Hỏi hợp của các nhóm con của nhóm X có phải là nhóm con của nhóm X
không ? Tại sao ?
Giải. a) Giả sử
{ }
I
X
∈
α
α
là một họ nhóm con của ( X, .)
Đặt A =
α
α
X
I∈
∩
, vì e
α
X∈
, với mọi
I
∈
α
nên
Ae
∈
. Vậy
≠A

),(),,
21
++ XX
là các nhóm con của ( X, +). Tuy nhiên
21
XX ∪
không là nhóm. Thật
vậy, f( x =
2
2
1
3
)(, XxxgXx ∈=∈
nhưng
21
23
)()( XXxxxgxf ∪∉+=+
Do đó
21
XX ∪
không là nhóm.
Bài 7. Chứng minh rằng trong một nhóm có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn
có một phần tử là nghịch đảo cuả chính nó.
Giải. Giả sử nhóm A có 2n phần tử A=
{ }
2210
,....,,,
−n
aaae
Nhận xét nếu

con của X khi và chỉ khi
AAA =
−1
.
Giải.
)(⇒
Ta có
1−
A
= {
Aaa ∈
−1
}. Khi A là nhóm con của X thì
AA ⊂
−1
Vì
AA ⊂
−1
nên
AAA ⊂
−1
Mặt khác, mọi
Aa ∈
ta có
11 −−
∈= AAaea
nên
1−
⊂ AAA
.

. Khi đó
BA ∪ B=
hoặc
BA ∪ A=
.
Do đó
BA ∪
là nhóm con của nhóm X

)(⇒
Giả sử
A
B
⊄
và
AB
⊄
. Khi đó
BA \
≠
Ø và
AB \
≠
Ø nên tồn tại
ABbBAa /,/ ∈∈
Vì
BA∪
là nhóm con của X nên



= e ( với e là phần tử đơn vị của X ). Hơn nữa
( )
ab
111 −−−
= ba
khi và chỉ khi ab = ba
Giải. Ta có
( ) ( ) ( )
ebcabcaaabcbcbcabcabca =⇒=== )(
2
và
( ) ( )( )
cabcabcab =
2
= c(abc)ab = cab
⇒
cab = e.
Hơn nữa, nếu (ab)
-1
= a
-1
b
-1
thì (ab)
-1
(ab) = e
⇒
(ba)
-1
(ba) = e = (ab)

Xba ∈,
. Chứng minh rằng
( )
22
2
baab =
khi và chỉ khi ab
= ba.
Giải.
( )
⇒
Ta có
( )
ababab =
2
, mà
( )
22
2
baab =
nên
( )
baabaabbbaababab =⇒===
22
2
( luật giản ước )
( )
⇐
Ta có
( )

2
ebaab ==
Mà
( )
22
2
baab =
thì
baab
=
( theo bài 11).
Vậy X là nhóm Abel.

Bài 13. Cho H, K là các nhóm con của nhóm X. Chứng minh rằng HK=KH khi và
chỉ khi HK là nhóm con của X, trong đó
=HK
{ }
KkHhhk ∈∈ ,
và
{ }
HhKkkhKH ∈∈= ,
Giải.
( )
⇒
Giả sử
11
kh
,
22
kh

,
2122112211
. Mặt khác mọi
HKa
∈
, ta có
hka
=
,
KkHhKkHh ∈∈⇒∈∈
−− 11
,),(
Lấy
HKKHhkb =∈=
−− 11
. Ta có
HKabHKebaab ∈=⇒∈==
−1
Vậy HK là nhóm.
( )
⇐
Mọi
hkaHKa =⇒∈
−1

),( KkHh ∈∈
. Khi đó
( )
( )
KHhkhkaa ∈===

{ }
exAxA
n
n
=∈= :
. Chứng minh rằng:
a)
n
A
là nhóm con của A
b) Nếu (m, n) = 1 thì
{ }
eAA
mn
=∩
Giải. a) Mọi
n
Ayx ∈,
thì
eyex
nn
== ,
Ta có (
1
−
xy
)
( ) ( )
eyxyx
nn

ra





=
=
ea
ea
m
n
, khi đó
( ) ( )
eaaaa
v
n
u
mnvmu
===
+
Vậy
{ }
eAA
nm
=∩
Bài 15. Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng các số nguyên Z là
nhóm con của Z khi và chỉ khi A = mZ, với
m
∈

Do đó r =a- mp
A∈
( p, r
∈
Z ).
Điều này mâu thuẫn với m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc A nên r = 0
⇒

a = mp
⊂⇒
A
mZ
Vậy A= mZ
Bài 16. Cho một họ những nhóm
( )
Ii
i
X
∈
mà các phép toán ký hiệu bằng dấu nhân.
Chứng minh tập hợp tích Descartes
i
Ii
X
∈
Π
với phép toán xác định như sau:
( ) ( ) ( )
Ii
ii

zyx
∈∈∈
===
γβα
,,
thuộc X. Ta xét
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
iii
Ii
iii
Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
Ii
i
zyxzyxzyxzyx ====
∈∈∈∈∈∈
γαβ
Ii∈
=
( ) ( ) ( )
[ ]
α

αα
αα
====
====
∈∈∈∈
∈∈∈∈
Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
xexexe
xxexee
Giả sử
( )
Xx
Ii
i
∈=

Ii
i
Ii
ii
Ii
i
Ii
i
====
∈∈
−
∈∈
−
1
1
,
αα
Vậy X là một nhóm.
Bài 17. Cho X là tập tùy ý. Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X.
Với phép nhân ánh xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ?
Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến X
là một nhóm với phép nhân các ánh xạ. Hãy tìm số phần tử của S(X) trong trường
hợp X có n phần tử ( n
∈
N, n
≥
1 )
Giải.
• Ta có phép nhân các ánh xạ có tính kết hợp và ánh xạ đồng nhất là phần tử
đơn vị.

1
XSf ∈
−
và
X
ffff 1
11
==
−−
Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ.
• Giả sử
{ }
n
xxxX ,....,,
21
=
. Với mỗi hoán vị
( )
inii
xxx ,....,,
21
của X ta có một
song ánh f :
XX
→
xác định bởi:
( )
ijj
xxf =
,

1
111
Vậy
( )
YXSf ,
1
∈
−
nên S(X,Y) là nhóm con của S(X).
Nếu X có n phần tử và Y có một phần tử thì S(X,Y) có (n-1) ! phần tử, nó ứng
với số các hoán vị của n-1 phần tử của tập X\Y.
Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có phần
tử là k!(n- k) !
D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Cho X = R






−
2
1
\
, trên X ta xây dựng phép toán (*):
x*y = x+2xy+y (x, y
X∈
)
Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm Abel.

ab
b
a
H
Chứng minh rằng H là nhóm con của GL
2
(R).
4) a) Cho
( )( ) ( )( )
5261834,4568123,,
8
==∈
βαβα
S
. Tính
αβαβα
,,
23
.
b) CMR:
( )( ) ( )( ) ( )( ){ }
2314,2413,3412,eK =
là nhóm con giao hoán của nhóm S
4
.
Nhóm này gọi là nhóm Klein.
5) Giả sử a, b là các phần tử của nửa nhóm X ( tức
≠X
Ø và đóng kín đối với
phép toán trên X ) sao cho ab=ba. Chứng minh

≠⊆ AXA ,
Ø. Nếu
XA ≤
thì AA
-1
=A.
d) Cho (G, .) là một nhóm, với
Gzyx ∈,,
.
Nếu xy = xz thì y = z.
e) Cho G là nhóm, nếu H là tập con của G,
≠H
Ø có chứa phần tử đơn
vị và các phần tử của H đều có phần tử nghịch đảo thuộc H thì H là nhóm con của
G.
f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần
tử nào là nghịch đảo của chính nó

CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH
A. LÝ THUYẾT
1. Tâm giao hoán
1.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm và
≠⊂ AGA ,
Ø. Khi đó tập:
{ }
AaaxxaGxAC ∈∀=∈= ,)(
được gọi là tâm của tập A.
Trường hợp đặc biệt
{ }

3. Định nghĩa
Cho G là nhóm,
GS
⊂
i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí
hiệu là <S>
ii) Với
>=<≤ SHGH ,
. Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh
của H.
Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G.
iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh.
Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm
xiclic.
iv) Nếu
{ }
n
xxxS ,...,,
21
=
thì
>>=<<
n
xxxS ,...,,
21
4. Định nghĩa
Một nhóm G được gọi là nhóm xiclic nếu G được sinh bởi một phần tử a nào
đó của G , G=<a>. Khi đó a gọi là phần tử sinh của G.
5. Phân loại nhóm xiclic
Giả sử G là nhóm xiclic sinh bởi a,

Ga ∈
là cấp của nhóm <a> và kí hiệu là
a
.
Nếu
a
hữu hạn thì a gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là
phần tử có cấp vô hạn.
iii) Nhóm G gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn.
iv) Nhóm G gọi là không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có
cấp hữu hạn.
B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Cho phần tử x thuộc G. Chứng minh |x| = n <
∞
Phương pháp giải:
Cách 1. Ta chứng minh rằng
exexexex
nn
=≠≠≠
−
,,...,,
132
Cách 2. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:
(i) x
n
= e
(ii) Giả sử tồn tại k
∈
Z sao cho x
k

C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng:
a) Nếu S bằng rỗng thì
{ }
eS >=<
b) Nếu S khác rỗng thì <S> = {
k
n
k
nn
xxx ...
21
21
|
∈∈
ii
nkSx ,,
Z, i=
k,1
}
Giải. a) Hiển nhiên.
b) Nếu S khác rỗng , đặt H = {
k
n
k
nn
xxx ...
21
21
|

( )( ) ( )( )
12212121
1221
1
2121
1
............
mm
m
l
n
k
nn
m
l
mm
n
k
nn
yyyxxxyyyxxxxy
lklk
−
−
−
−
==
.
Hay
lk
m

xxxx ...
21
21
=
, với
ii
nkSx ,,∈ ∈
Z, i=
k,1
. Vì
,
HSx
i
⊂∈
và
SH ≤
,
nên
,
Hx
i
n
i
∈
. Suy ra
,
21
...
21
Hxxx

n
i
i
n
i
AA
11
.
Giải. a) Lấy x bất kỳ thuộc <A>. Khi đó
k
n
k
nn
xxxx ...
21
21
=
, với
∈∈ knAx
ii
,;
Z,
i=
n,1
. Hay
k
n
k
nn
xxxx ...

xxxx ...
21
21
=
với
BAx
i
∪>∈<
,
i
n
,
k
∈
Z, i=
k,1
.
Nếu
Bx
i
∈
,
ki ,1=∀
thì
>∪∈<
BAx
Nếu
kiAx
i
,1, =∀>∈<

và
)>∪⊂< BAB
. Suy
ra
>∪∈<
BAx
Do đó
>∪>⊂<∪><< BABA
(2.2)
Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra
>∪>>=<<∪< BABA
Tương tự ta được
>><∪>=<∪< BABA
Do đó
>><∪>>=<<∪< BABA
Vậy
BABA ∪>>=<<∪<
>=<A
><∪ B
>= <
>><∪>< BA
c) Ta chứng minh
>><∪>=<∪<
==
i
n
i
i
n
i

1
Hay
>><∪>=<<
=
i
k
i
AA
1
. Do đó
>∪>=<∪∪<
++
+
=
11
1
1
kkl
k
i
AAAA
. Vì thế
>><∪>>=<<∪><∪>>=<<∪>∪>>=<<<∪>>=<<∪<
=
+
=
+
=
+
+

i
AA
11
Bài 3. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng:
a) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì
>∪=< HKHK
và HK=KH
b) Nếu
niGH
i
,1, =≤
và
1,1, −= njGH
j

thì
>∪=<
=
i
n
i
n
HHHH
1
21
...
và
H
i
H

bất kỳ thuộc KG với k
1
, k
2
thuộc K; h
1
, h
2
thuộc H. Khi đó
( )( )
( )
1
2
1
212
1
21
1
2
1
211
1
2211
−−−
−−−
== khhkkkkhhkhkhk
. Vì
GK ≤
nên
Kkk ∈

). Nếu
Hx
∈
thì
KHexx
∈=
(vì
)Ke∈
. Suy ra
KHx
∈

hay
KHHK ⊂∪
Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa
HK ∪
. Lấy kh bất kỳ thuộc KH với
HhKk ∈∈ ,
. Khi đó



⊂∪⊂∈
⊂∪⊂∈
MHKHh
MHKKk
nên
Mkh
∈
( vì

i
k
i
k
HHHH
1
21
...
(*) bằng phương pháp quy nạp theo n
Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng
Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên
Giả sử ta luôn có
>∪=<
=
i
k
i
k
HHHH
1
21
...
, với k>1, trong đó
1,1,,,1, −==≤ kjGHkiGH
ji

.
Ta chứng minh
>∪=<
+

>=<
SH
. Vì
GHGH ≤,
1

nên theo kết quả câu a) ta có
>∪>>=<<∪>=<∪=< SHSHHHHH
1111
(do bài 2) . Vì thế
>∪=<
+
=
+ i
k
i
k
HHHH
1
1
121
...
. Vậy
>∪=<
=
i
n
i
n
HHHH

n
> ;
>=<
m
yyyHG ,...,,/
21
. Ta chứng minh
>=<
mn
yyyxxxG ,...,,,,...,,
2121
. Đặt
>=<
mn
yyyxxxK ,...,,,,...,,
2121
. Lấy g bất kỳ
thuộc G.
Nếu
Hg ∈
thì
Kg ∈
( vì
KH ⊂
)
Nếu
HGg \∈
thì
eg ≠
và

mm
∈
−1
21
21
. Nên
( )
kl
n
k
nn
m
l
mm
xxxyyyg ...
2121
21
1
21
=
−
. Suy ra
lk
m
l
mm
n
k
nn
yyyxxxg ......

Hhgx ∈=
−1
( do
GH ≤
) ( mâu thuẫn
HGx \∈
) . Nên
HGxHgx \, ∈∀∉
. Hay
HGgx \∈
. Do đó
>∈< HGgx \
. Vì thế tồn tại x
’
thuộc
<G\H> sao cho gx= x
’
. Do vậy
>∈<=
−
HGxxg \
1'
.
Suy ra
>⊂<
HGG \
(5.2)
Từ ( 5.1) và ( 5.2) ta suy ra G = < G\H >.
Vậy G = < G\H >.


( )
{ }
∞<=><⇒
−<≤>=⇒<
====⇒
+
xx
drxx
xxxxxy
r
rr
p
drdpk
10
Do đó
∈∀⇒∞= nmx ,
N sao cho m
≠
n thì
nm
xx ≠
( )
⇐
Ta có
>=< x
{ x
k
|k
∈
Z }

vô hạn của X, A có vô hạn nhóm con nên X cũng có vô hạn nhóm con
• Nếu mỗi phần tử của X đều có cấp hữu hạn thì số các nhóm con xiclic sinh
bởi các phần tử của X là vô hạn vì
Xx
Xx
>=<∪
∈
là tập vô hạn và <x> hữu hạn.
Bài 8. Chứng minh rằng nếu X là nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường là
{e }và X thì X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố.
Giải. Lấy
exXx ≠∈ ,
. Xét nhóm con < x >. Vì
}{ex >≠<
nên < x> = X. Vậy
X là nhóm xiclic
Nếu x có cấp vô hạn thì
><
2
x
là nhóm con thực sự của X
( trái giả thiết ). Vậy X phải có cấp hữu hạn n.
Nếu n không phải là số nguyên tố, tức n = n
1
n
2
(
∈
21
, nn