03/04/2017

Định nghĩa hàm một biến

CHƯƠNG 0

HÀM SỐ, GIỚI HẠN,
LIÊN TỤC
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Cho D, E là tập con của tập số thực R. Hàm số f là
một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x trong
tập D với duy nhất một phần tử f(x) trong tập E.

D: miền xác định (domain)
E: miền giá trị (range)
x: biến độc lập (independent variable)
f(x): biến phụ thuộc (dependent variable)

E

1

f 1
f a 

a

Bài giảng Toán cao cấp 1

Bài giảng Toán cao cấp 1

Đồ thị hàm số
• Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số
y

y=2x+x2
range
 mgt

f 2 

Nguyễn Văn Tiến

y  f x 

f 2 

x

0
domain  mxd
2
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Ví dụ
y

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc


• Được định nghĩa khác nhau trên mỗi tập con
khác nhau của miền xác định.
Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối

x
f x   x  


x



x

0

Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc
y  x

Hàm xác định từng khúc

yx

y

y  x2

f 0   1


1  x , x  1
f x   
 2

x
,x  1




f 1  0

f 2   4

f 0   0

0

Bài giảng Toán cao cấp 1


2


03/04/2017

Tính đối xứng

Ví dụ

• Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu:

x  D  x  D và f x   f x 
• Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu:

x  D  x  D và f x   f x 

• Hàm số sau đây là chẵn, lẻ hay không chẵn
không lẻ?
a ) f x   x 5  x

b ) g x   1  x 4

c ) h x   x  x 2
• Giải:

d ) k x  

3x





h x   x  x   x  x 2
2

h x   h x 

d) Tập xác định:

h x   h x 

Vì:  4  D  ; 3  m à 4  D

Nên hàm số đã cho có tập xác định không đối
xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.

Vậy hàm h không chẵn, không lẻ.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Hàm số tăng, giảm

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ


d

x

Nguyễn Văn Tiến

3


03/04/2017

Hàm số ngược

Ví dụ

• Định nghĩa hàm 1-1: Hàm số f gọi là hàm 1-1
nếu nó không nhận cùng một giá trị nào đó 2
lần trở lên. Nghĩa là:

• Hàm f là hàm 1-1; hàm g không là hàm 1-1.

f x 1   f x 2 ,  x 1  x 2

1

• Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f là hàm 11 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằm
ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một
điểm.
Bài giảng Toán cao cấp 1



x
0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm số: g(x)=x2 có phải hàm 1-1?
• Đáp số:
Vì 1-1 nhưng g(1)=1=g(-1) nên hàm đã cho
không là hàm 1-1.
Tuy nhiên xét riêng trên miền [0, +) thì hàm g là
hàm 1-1.
Vì: x  x  x 2  x 2  g x   g x 
2

g

Nguyễn Văn Tiến

• Ta thấy mọi đường
nằm ngang chỉ cắt
đồ thị tại một điểm
duy nhất. Không có
đường nào cắt
nhiều hơn một
điểm. Vậy f là hàm


2

Ví dụ

• Ta có:

2

21

3

3

1

10



1

• Xét trên toàn
trục số g
không là 1-1.
• Xét trên miền
[0; +) hàm g
là 1-1.



1

y   x

 f x   y ,

• Hàm số ngược của hàm f.
10
1
1
21
2
2
5
3
3
4

y  B

Bài giảng Toán cao cấp 1

f  1 10   1
Nguyễn Văn Tiến

• Hàm ngược của hàm:

f x   x 3
• Là:


x 

f x   x 3  2

y  3 x 2



• Vậy hàm ngược: y  f 1 x 
Bài giảng Toán cao cấp 1

3

Bài giảng Toán cao cấp 1

Cách tìm hàm ngược

yf

6

f 1

Ví dụ

• Miền xác định của f -1 = miền giá trị của f.
• Miền giá trị của f -1 = miền xác định của f.
• Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x là
biến độc lập nên hàm số ngược thường viết


3

x 2
Nguyễn Văn Tiến

5


03/04/2017

Ví dụ

Chú ý

• Tìm hàm ngược của:

g x   x 2, 0  x  

• Từ định nghĩa ta có:



y  x , 0  x    x  y  x   y
2

ii )

2


giác góc phần tư
thứ nhất)

• Cho hai hàm số f, g có miền xác định là A, B. Khi đó:
• Tổng và hiệu của f và g:

 f  g x   f x   g x ,

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

mxd : A  B

• Tích của f và g:

 f .g x   f x .g x ;
• Thương của f và g:
 f 
f x 
  x  
g x 
 g 

mxd : A  B







f x   x 2

• Ta có:

• Khi đó tồn tại hàm hợp:  fog   h
• Ta có:
fog : X  Z



 
g f x   g  f x   g x   x

fo g x   f g x   f x  3  x  3
2

o

2

2

3



h x    fog x   f g x 

Bài giảng Toán cao cấp 1

f
g

b) fog; go f ; fo f ; gog
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến



g x   2  x  mxd : B  ;2


• Vậy:

 f  g x  

x  2x

mxd : A  B   0;2

 f  g x  

x  2x

mxd : A  B   0;2

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

2x 



 mxd : ; 2


2 x  4 2x

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

g f x   g  f x   g 



x  0
DK : 
 0  x  4  mxd : 0; 4
2  x  0




 f f x   f  f x   f 
0

0




2x



2  x  0


x  2

DK : 

 2  x  2



2

2

x

0

2  x  4



 mxd : 2; 2

2

 cos x  9  cos2 x  9  F x 


Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

7


03/04/2017

Hàm tuyến tính

CÁC LOẠI
HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu:

y  ax  b


Bài giảng Toán cao cấp 1





; mxd : x  R x  3

Nguyễn Văn Tiến

• Dạng:

y  x ,

  ,   0

• >0 : hàm số tăng.
• 
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

8


03/04/2017

Hàm lũy thừa

Hàm số mũ

• Miền xác định: tùy thuộc vào số mũ 

• Dạng:

Miền xác định

Giá trị của 



•
•
•
•
•

phía trên và tiệm cận với trục hoành.

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số 2x và (1/3)x

Hàm số mũ
• Tính chất:

i 
ii 

a x y  a x .a y
ax
1
 a x  x
ay
a
 a x .y

a x y 

iii  a 
iv  a.b   a .b
v  a  a , m, n  N ; n  0
x

y


• Miền xác định D= (0; +), miền giá trị: R
• Là hàm số ngược của hàm số mũ y=ax.

y  loga x  x  a y
• Logarit với cơ số e (e≈2.71828) gọi là logarit cơ số tự
nhiên.

loge x  ln x

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

9


03/04/2017

Đồ thị log2x và log1/3 x

Hàm logarit
• Tính chất:

i 
ii 


• Tính giá trị sau:
a ) log2 80  log2 5  ?

b) log2 10. log10 4

• Giải:

 80 
a ) log2 80  log2 5  log2    log2 16  log2 24  4
 5 

 

y  sin x ; y  cos x
• Tập xác định R,
• Tập giá trị là [-1, 1]
• Tuần hoàn với chu kỳ 2π.

sin x  k 2  sin x ,

b) log2 10.log10 4  log2 101/2.log10 4


loga x

cos x  k 2  cos x,

1
1



Điều kiện xác định: x   k 
2
Tập giá trị là R.


Tăng trên các khoảng: (  k ,  k )
2
2
Tuần hoàn với chu kỳ π.

tan x  k    tan x,
Bài giảng Toán cao cấp 1

k Z

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

k Z
Nguyễn Văn Tiến

10


03/04/2017

Đồ thị hàm tan(x)

v ) 1  tan2 x 

Nguyễn Văn Tiến

Hàm arcsinx
• Đồ thị hàm sinx trên [-; ]

• Ta hay dùng công thức sau:
i)

k Z

ii) tan x 

sin x
cos x

iv ) tan x . cot x  1
1
cos2 x

vi ) 1  cot2 x 

1
sin2 x

• Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác.
• Đồ thị y=sinx trên [-/2; /2]
Bài giảng Toán cao cấp 1




Là hàm lẻ, tăng.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

11


03/04/2017

Đồ thị hàm sin(x) và arcsin(x)

Ví dụ
• Tính:
1
a )sin1  
 2 
• Giải:


1
b) tan arcsin 

   
a )sin1 sin  
  6 

• Đặt:
x  arcsin

1
1


 sin x  và   x 
3
3
2
2

• Vậy:

Nguyễn Văn Tiến





c) sin sin1 2

    
    
  ;  sin1 sin   

 
    
vì sin   và
  ;
 6 
 2 2
6



Bài giảng Toán cao cấp 1

  7 
b)sin1 sin  
  6 

• Giải:
a)


1
1
tan arcsin   tan x 

3 
2 2
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến



Hàm lượng giác ngược

Ví dụ

3. Hàm arctan: (đọc là ác – tang)

• Đơn giản biểu thức:

y  arctan x  tan1 x

Là hàm lẻ, tăng.
Tập xác định: R.
Tập giá trị:  / 2;  / 2
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

 

y  tan1 x  x  tan y,   y  
 2
2 
1
1
1  tan2 y 
 cos2 y 
cos2 y
1  tan2 y
1

 2
2 

Tập giá trị:



cos tan1 x

Là hàm ngược của hàm y=tan(x)

Tập xác định: R.
Là hàm giảm.

Nguyễn Văn Tiến

• Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêu
việt.
• Các hàm siêu việt đã biết: hàm lượng giác, hàm
lượng giác ngược, hàm mũ, hàm logarit.

0, 

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

13

Giới hạn hàm số
Tính chất
Công thức giới hạn cơ bản
Vô cùng lớn
Vô cùng bé
Ngắt bỏ vô cùng bé tương đương

• Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Dãy số

Dãy số

• Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự
nhiên khác 0.
u : N*  R

• Cho dãy số:

n 1
2n  1

• Ta có:

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

un
2
1
0.8
0.714285714
0.666666667
0.636363636
0.615384615
0.6
0.588235294
0.578947368

Bài giảng Toán cao cấp 1

Dãy số

• Các giá trị tiếp theo:
100

u n  

n 1
2n  1

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5.
• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5
càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 109).
• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng
n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn.
• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

14


03/04/2017

Định nghĩa giới hạn dãy số
• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:
• Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

Ví dụ
• Chứng minh:
lim

  0, n 0  0 : n  n 0  un  a  .
nhỏ tùy ý

un  a  
Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Ví dụ

• Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa
và kết luận.
• Giải.
• Với mọi >0. Ta có:
n 1 1
3
un  a 
 

2n  1 2
2 2n  1
3
3
1
 2n  1 
 n    

2
 4 2 


Hệ quả

• Chứng minh giới hạn sau bằng định nghĩa:
n 

1
2

• Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu:
  0, n0  0 : n1  n0 và un  a  .

n
1
n 1

1

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0
để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn .
• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách
giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a
không thể nhỏ tùy ý.
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

Tính chất

• 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
• 2. Cho lim un ; lim vn tồn tại hữu hạn. Khi đó:
n 

n 

n 

n 





n 

lim un  lim zn  a



sin n
1

n2  1 n2  1

0

• Vậy: lim un  0  lim un  0
n 

Bài giảng Toán cao cấp 1

thì

Bài giảng Toán cao cấp 1

Minh họa
vn



• Nếu:

n 

Bài giảng Toán cao cấp 1

un 


n 

lim vn

vn

n 

n 

a ) lim un  vn   lim un   lim vn 
n 

e) lim un

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

n 

Nguyễn Văn Tiến

16


03/04/2017

Công thức giới hạn
1) lim C  C

n


a
5) lim 1    ea
n  
n 


n


1
4) lim 1    e
n  
n 

1
6) lim   0 a  0
n  ln n
ln p n
8) lim   0   0
n  n

n

• Có 7 dạng vô định:
0
;
0


Ví dụ

• Biến đổi đại số (nhân liên hợp, các hằng đẳng
thức …)
• Chia tử và mẫu cho biểu thức khác 0 (thường
chia cho n hay an…)
• Dùng công thức giới hạn dãy số e.
• Dùng định lý kẹp

Nguyễn Văn Tiến

• Tìm các giới hạn sau:



a ) lim n  n 2  1
n 





1
1
1

b) lim 

 ... 

Ví dụ

Ví dụ

• Tìm các giới hạn sau:

• Tìm các giới hạn sau:

2n  3n
n  2n  3n
2n 1  3n 1
b) lim n
n  2  3n
5.2n  3.5n 1
c) lim
n  100.2n  2.5n
n
6  5n 1

d ) lim
n 1
n  n
5  6


2 

a ) lim 1 
n  



Nguyễn Văn Tiến

17


03/04/2017

Ví dụ

Giới hạn hàm số

• Tìm các giới hạn sau:

• Để có cái nhìn trực
quan về giới hạn
hàm số ta xét ví dụ
sau.
• Cho hàm số:

n sin n
n2  1
arctan n
b) lim
n 
n
sin2 n  cos3 n
c) lim
n 
n

1.9
1.95
1.99
1.995
1.999

2
2.75
3.3125
3.71
3.8525
3.9701
3.985025
3.997001

3
2.5
2.2
2.1
2.05
2.01
2.005
2.001

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

8
5.75





• Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a bằng L
nếu giá trị của f(x) có thể gần L một cách tùy ý
khi lấy giá trị của x đủ gần a nhưng x không
bằng a.
lim f x   L
• Ký hiệu:
x a
• Dạng toán học:

• CMR:

lim f x   L 

• B3. Khi x gần 2. Từ bất phương trình trên giải:

x a

x 2

• B1. Lấy >0 tùy ý.
• B2. Lập hiệu:

f x   4  x 2  x  2  

  0,   0, x  D : 0  x  a    f x   L  
Bài giảng Toán cao cấp 1

4





• Kết luận:





lim x 2  x  2  4

• Vậy:

x 2


 4 x 2    x2 x 2  
4

x 2 
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Định nghĩa

0.973545856
0.985067356
0.993346654
0.998334166
0.999983333
0.999995833
0.999999833

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

• Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến a từ bên trái bằng L nếu giá trị của hàm số
f(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của x
đủ gần a và x nhỏ hơn a.
• Ký hiệu: lim f x  L
x a 

lim f x   L 

  0,   0, x  D : 0  a  x    f x   L  

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên phải
• Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến a từ bên phải bằng L nếu giá trị của hàm số


x
a
lim f x   L

x a
Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

19


03/04/2017

Giới hạn bên trái

Định lý

y

• Hàm số f có giới hạn L khi x tiến tới a khi và chỉ
khi:
• f có giới hạn trái và giới hạn phải tại a.
• Hai giới hạn đó bằng nhau
• Bằng L


Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1

Luật tính giới hạn

Luật tính giới hạn (tt)

2. lim x  a 3. lim x n  a n

1. lim C  C
x a

x a

x a

6. lim
x a

• Cho các giới hạn sau tồn tại hữu hạn:
x a

f x 
g x 



a

Với điều kiện
các biểu thức
có nghĩa
Nguyễn Văn Tiến

• Tính:









a ) lim x 2  3x  4
x 2

lim f x   f a 
x a

• Nếu f x   g x ,  x  a và tồn tại giới hạn:
lim g x   L

Bài giảng Toán cao cấp 1

x a



 lim g x   0

x a

Bài giảng Toán cao cấp 1

Tính chất

thì:

x a

lim g x 

f x  

4. lim  f x   g x   lim f x   lim g x 

x a 
x a
x a

Bài giảng Toán cao cấp 1

lim f x 

n
7. lim  f x    lim f x 



• Ta có:

Giới hạn vô cực

x2  4
 ???
x 2

x  2 x  2   x  2,  x  2
x2  4

x 2
x 2

• Mà:

lim x  2   4

• Vậy:

lim

x 2

x 2

x2  4
 lim x  2   4
x 2

Giới hạn vô cực

Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực

y

• Cho hàm f xác định về 2 phía điểm a, trừ điểm
a.
• Nếu giá trị f(x) có thể lớn tùy ý khi x đủ gần a,
xa. Ta nói:

x  a

lim f x   
x a

x

• Nếu giá trị f(x) có thể nhỏ tùy ý khi x đủ gần a,
xa.

0

lim f x   

lim f
x  a



lim g x   L
x a

7. lim
x 0

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

3. lim 1  x x  e

lim f x   lim h x   L

• Thì:

 

Công thức giới hạn

• Nếu f x   g x   h x  khi x gần a (có thể trừ
điểm a) và:
x a

x  

Nguyễn Văn Tiến

1

1
x 0
x

6. lim
x 0

Nguyễn Văn Tiến

21


03/04/2017

Công thức giới hạn
arcsin x
1
x

9. lim
x0

11. lim arctan x  
x 

10. lim
x 0

Ví dụ


 0 
 
 0 

2x  1  3

a . lim
x  



x 2
x 1 x



   

sin 2x
c . lim
x  0 sin 3 x
ln x  a   ln a
d . lim
x 0
x
e 2 x  e 3 x  0 
e . lim
 
x0
 0 

ln x  1
x e



c . lim x   tan x
 
2 
x 

b . lim
x e

x0

 0 
 
 0 

0. 

Bài giảng Toán cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1 


5 




 5x 2  3 2 x

c . lim  2
x   x  4 



2

1/x là VCB khi x  vì:

1 

a . lim cos x x 2

a . lim x e 1/x  1

lim

x 

1
0
x

3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một
VCB.
4. Thương của hai VCB có thể không là một VCB.

4. Nếu k= ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).
Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

1) sin x  x

2) tan x  x

3) arcsin x  x

4) arctan x  x

1
5) 1  cos x   x 2
2
7) e x  1  x

6) 1  x   1   x

9) ln x  1  x

10) loga 1  x  





x a


1/5

1
5

 1  x  1  1  x   1  x khi x  0

5


arctan x  x


1
• Vậy:
x
5
1  x 1
1
I  lim
 lim 5 
x 0 arctan x
x 0 x
5
Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
• Tính:


K  lim

2


 ln 1  x tan x   x tan x  x
khi x  0
 3
3

sin x  x




I  lim
x0

ln 1  x tan x 
x 2  sin 3 x

Bài giảng Tốn cao cấp 1



x0

x
x

0/0.

8)a x  1  x ln a

• Đây là các VCB khi x 0.

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
lim



e
N  lim
x 0

Bài giảng Tốn cao cấp 1

x

ln x
 1 cos x  1



4

2x  sin 3 x




1. Nếu k=  thì f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).

• Ví dụ:

2. Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là hai VCL
cùng cấp

1 1
i) ;
; cot x là VCL khi x  0 .
x sin x


ii ) tan x là VCL khi x   hay x  .
2
2
Bài giảng Tốn cao cấp 1

3. Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.
Ký hiệu:
f(x) ~ g(x)

Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Tổn g hữu hạn các VCL




• Các VCL bậc thấp bị ngắt bỏ.
• Giới hạn có dạng /.
• Vậy:
I  lim

x 2  4  2x  3 x

x 

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ
J  lim





ln e x  1
x

x  

x  


Bài giảng Tốn cao cấp 1

3x 3  3 7 x 2
2

x 

3

x

3

Nguyễn Văn Tiến

• Định lý: Xét q trình xa:
• Nếu f(x) là VCB thì: g x  

3

x  2x  3 x
3

x x
2

Liên hệ VCB và VCL

ln e x


Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

24


03/04/2017

Thay thế sai

Chú ý khi thay thế hàm tương đương
lim

tan x  sin x
x x
 lim
x0
x3
x3

f x   g x   f1 x   g 1 x   f1 x  
 g 1 x 

lim

tan x  sin x
tan x  x

cos 2 x 
 1  cos x 
lim  2 
  lim

2
2
2

x0 x
x

0

sin x 
x

x


Bài giảng Tốn cao cấp 1

Nguyễn Văn Tiến

Liên tục
•
•
•
•
•


Điểm gián đoạn
• Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số
1. Điểm gián đoạn loại 1:
• Tồn tại hữu hạn: lim f x  ; lim f x 

• Hàm số f(x) liên tục trái tại x0:
lim f x   f x 0 

x x 0

x  x 0

x x 0

lim f x   lim f x  ta nói x 0 là điểm khử được .

• Hàm số f(x) liên tục phải tại x0:

x x 0

x x0

x  x 0

x x0

lim f x   lim f x  ta nói x 0 là điểm nhảy .

lim f x   f x 0 