NGUYỄN QUỐC TIẾN

BÀI GIẢNG TOÁN
CAO CẤP A3

2

2

2

x
y
z



1
2
2
2
a
b c

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011
1


CHƯƠNG 1.
1.1


0  M 0 M   thì f ( x, y )  A   . Ký hiệu

lim f ( x, y)  A hay lim f ( x, y )  A

M M 0

x  x0
y  y0

Giới hạn của hàm hai biến còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy như sau:
Cho hàm số f ( M )  f ( x, y ) xác định trong miền D chứa điểm M 0 ( x0 , y0 ) có thể
trừ điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f ( x, y ) khi điểm M ( x, y ) dần tới điểm
M 0 ( x0 , y0 ) nếu với mọi dãy M n ( xn , yn ) thuộc D dần tới M 0 ta đều có lim f ( xn , yn )  L .
n

Ký hiệu
Ví dụ: Tính

lim

( x , y ) ( x0 , y0 )

lim

( x , y )  (0,0)

f ( x, y)  L hay lim f ( M )  L
M M 0

f ( x, y ) với f ( x, y) 

Cho y  x ta có L  lim
x 0
y 0

x2
1
2x2
2

L

lim
 . Vậy
,
nhưng
cho
y

2
x
thì
2
2
2
2
x

0
x x
2


 xy
, ( x, y )  (0, 0)

f ( x, y)   x 2  y 2
gián đoạn tại (0, 0) vì không tồn tại
1
, ( x, y)  (0, 0)


xy
x  y2
2

Đạo hàm riêng

1.2.1 Định nghĩa
Cho hàm z  f ( x, y ) . Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm của
một biến số x. Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn
z
f ( x  x, y)  f ( x, y )
 lim

x

0
x
x

Ký hiệu z x' , f x' ,

Cho hàm số z  f ( x, y ) . Các đạo hàm f x' , f y' là những đạo hàm riêng cấp một. Các
đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Ký hiệu đạo
hàm riêng cấp hai như sau:
  f   2 f
 f x''2  x, y 
 
x  x  x 2

  f   2 f
 f yx''  x, y 
 
x  y  xy

  f   2 f
 f xy''  x, y 
 
y  x  yx

  f   2 f
 f y''2  x, y 
 
y  y  y 2

Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M 0 ( x0 , y0 ) hàm số z  f ( x, y ) có các đạo
hàm riêng f xy'' , f yx'' và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M 0 thì f xy'' ,  f yx'' tại M 0 .
Ví dụ: z  e xy ;

1.3

2 z

4


Khi z  f ( x, y ) khả vi tại ( x0 , y0 ) ta gọi phần tuyến tính
f
f
( x0 , y0 ) x 
( x0 , y0 )y là vi phân toàn phần của z  f ( x, y ) tại ( x0 , y0 ) và ký hiệu là
x
y
dz ( x0 , y0 ) . Vậy:
dz ( x0 , y0 ) 

f
f
( x0 , y0 ) x 
( x0 , y0 ) y .
x
y

hay

df ( x, y ) 

f
f
( x, y)dx 
( x, y )dy
x
y

đúng sau:

z  f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) 

f
f
( x0 , y0 )x 
( x0 , y0 )y
x
y

hoặc

f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) 

f
f
( x0 , y0 ) x 
( x0 , y0 ) y
x
y

Ví dụ: Tính gần đúng giá trị 1, 023,01 .
Xét hàm z  x y , x  1, y  3, x  0, 02, y  0, 01 . Khi đó: 1, 023,01  1  0,06  1, 06 .

1.3.4 Đạo hàm hàm hợp
Cho z  f (u , v) với u  u ( x, y), v  v( x, y ) thì các đạo hàm riêng được tính như sau:

z z u z v


1.4

2

2u (a sin x)  eu
v

2

2

 v2

2v(a cos x)

(v cos x  u sin x)

Cực trị của hàm hai biến

1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu
M 0 ( x0 , y0 ) được gọi là điểm cực đại của z  f ( x, y ) nếu tại mọi điểm M ( x, y) trong

lân cận của M0 ta đều có f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) . Trong trường hợp này ta cũng nói là hàm
z  f ( x, y ) đạt cực đại tại M 0 ( x0 , y0 ) .
Nếu thay chữ “đại” bởi chữ “tiểu” và bất đẳng thức f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) thay bởi
f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) thì M 0 ( x0 , y0 ) được gọi là điểm cực tiểu của z  f ( x, y )
Điểm cực đại và cực tiểu khi chưa cần phân biệt được gọi chung là cực trị.
Ví dụ: Cho hàm z  x 2  ( y  1)2  2 . Ta có z (0,1)  2 và z ( x, y )  2  z (0,1), ( x, y ) .Vậy
(0,1) là điểm cực tiểu của hàm z . Giá trị cực tiểu thu được là 2. Điểm (2,3) chẳng phải là
điểm cực trị của hàm z vì trong lân cận của nó có các điểm khác mà giá trị tại chúng có thể

,
(
x
,
y
)

B
,
( x0 , y0 )  C . Khi đó:
0
0
0
0
x 2
xy
y 2

Nếu B 2  AC  0 thì hàm đạt cực trị tại M0 (đạt cực tiểu nếu A  0 , đạt cực đại nếu
A  0 ).

6


Nếu B 2  AC  0 thì hàm không có cực trị tại M0.
Nếu B 2  AC  0 thì chưa có kết luận.
Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số f ( x, y)  x3  y 3  6 xy .
Ta có f x'  3 x 2  6 y, f y'  3 y 2  6 x ( x, y ) hay hàm số luôn tồn tại hai đạo hàm riêng.
Các điểm dừng là nghiệm của


Bước 1. Lập hàm Lagrange: L( x, y,  )  f ( x, y)   ( x, y) với  gọi là nhân tử số
Lagrange.
Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm L, tức là giải hệ phương trình:
 L'x ( x, y,  )  0
 '
 Ly ( x, y,  )  0
 '
 L ( x, y,  )  0

Bước 3. Xét dấu d 2 L  L''xx dx 2  2 L''xy dxdy  L''yy dy 2 tại từng điểm dừng ( x0 , y0 , 0 ) . Nếu
d 2 L ( x0 , y0 , 0 )  0 thì zmax  f ( x0 , y0 ) . Nếu d 2 L ( x0 , y0 , 0 )  0 thì zmin  f ( x0 , y0 ) .

7


BÀI TẬP CHƯƠNG I
Câu 1. Miền xác định của hàm số
1  x2
1  sin xy
a) z 
b) z 
2
2
1 x  y
4  x2  y2

1  x2
2  sin x

d) z  ln


e)

x2  3 y 2
x2 y2

lim
( x , y ) (0;0)

x y

h)

( x , y )(1;1)

x2  y2  1 1
2

x y

2

x4  y 4
x2 y

lim
( x , y ) (0;0)

Câu 3. Cho hàm số f ( x, y) 


( x , y )( ;1)
1/ 2 x

i) lim ( x 2  y 2 ) sin
x 0
y 0

 x3  y 3
,  x, y   1, 1

c) f ( x, y )   2  x  y 
tại 1, 1
 a , x, y  1, 1
   

Câu 5. Tính các đạo hàm riêng cấp một

d) z  x3  3x y

e) z  ln x



2

1
x y

. Định nghĩa f (0, 0) để hàm số liên tuc trên R 2



x2  y2

 ln x



c) z  x 2 sin
f) z  x 2tg

8

x
y

x
y


Câu 6. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a) z  e x sin y  x3  2 y

c) z  x  y

b) z  x 2  y 2

d) z  sin(2 x  3 y )
Câu 7. Tính

b) z  x3  y3  ln  xy 

c) z  x 2  y 2

d) z  xy  3x  2 y

b) z  x 2  y 2

c) z  4( x  y )  x 2  y 2

9