Chương 1:
Giới hạn và liên tục của hàm số một biến
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 11 tháng 2 năm 2014

1


1

Khái niệm về hàm số
Khái niệm
Một số tính chất của hàm số
Các hàm số sơ cấp

2

Giới hạn của dãy số
Khái niệm
Cấp số cộng
Cấp số nhân
Giới hạn dãy số

3


x −→ y = f(x).
D được gọi là miền xác định của hàm số f.

Ví dụ
Cho hàm số f(x) = x3 + x2 . Tìm f(1), f(−1), f(a), f(a − 1).

Định nghĩa (Đồ thị hàm số)
Đồ thị hàm số f có miền xác định D là tập hợp
{(x, y)|y = f(x), x ∈ D}.

3


Khái niệm về hàm số

Khái niệm

Định nghĩa (Hàm từng khúc)
Hàm số f được gọi là hàm từng khúc khi hàm số này được viết thành biểu
thức khác nhau trên miền xác định D.

Ví dụ
Hàm



x2
f(x) = 

2x + 1

Khái niệm về hàm số

Khái niệm

Định nghĩa (Hàm ẩn)
Giả sử y là một hàm theo biến x mà ta chỉ biết giữa y và x liên hệ với nhau
bởi phương trình
F(x, y) = 0.
Khi đó y được gọi là hàm ẩn của biến x xác định bởi phương trình F(x, y) = 0.

Ví dụ
Cho y là một hàm số theo biến x được xác định bởi
xy2 − 2xy + 1 = 0
thì y là một hàm ẩn theo biến x.

6


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Hàm số đơn điệu
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng I,
Hàm số f(x) được goi là tăng (giảm) trong I nếu ∀x1 , x2 ∈ I sao cho
x1 < x2 thì f(x1 ) < f(x2 ) (f(x1 ) > f(x2 )).
Hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng I được gọi là hàm số đơn điệu trong I.

Chú ý
Hàm số f(x) được gọi là không tăng (giảm) trong khoảng I nếu ∀x1 , x2 ∈ I

8


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Hàm ngược
Định nghĩa (Hàm ngược)
Cho hàm số f(x) xác định trên miền D, I là hàm đồng nhất, tức là I(x) = x.
Nếu tồn tại hàm g(x) sao cho
f ◦ g = I; g ◦ f = I
thì g được gọi là hàm ngược của f. Kí hiệu: f −1 .
Như vậy,
x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f(x), ∀x ∈ D.

Ví dụ
Tìm hàm ngược của hàm f(x) = (x − 1)2 , x 1.
Giải
Giả sử y = (x − 1)2 , x 1, ta có y 0. Do đó,
x−1=
Vậy hàm ngược là x =

√
√
y hay x = y − 1.

√
y − 1.
9


Định nghĩa
Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên miền Ω ⊂ R. Ta có các phép toán sau:
Tổng (hiệu) của f(x), g(x) là hàm f(x) + g(x)(f(x) − g(x)).
f(x)
Tích (thương) của f(x), g(x) là hàm f(x).g(x)
, g(x) 0 .
g(x)

11


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Định nghĩa (Hàm sơ cấp)
Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm cơ bản bởi một số hữu hạn các
phép toán và phép lấy hàm hợp.

Ví dụ
Các hàm số
y = ln(x2 − 1), y =

x2 . log3 x
2x3 − 3
;y =
− 3x + 1
arccos(1 − 3x)


Định lý
Cho một cấp số cộng xn , ta có các tính chất sau:
Số hạng tổng quát thứ n có dạng
xn = x1 + (n − 1)d.
Tổng n số hạng đầu tiên là
Sn = x1 + x2 + ... + xn =

n
(x1 + xn ).
2


Giới hạn của dãy số

Cấp số nhân

Định nghĩa (Cấp số nhân)
Dãy (xn ) được gọi là một cấp số nhân với công bội q nếu thỏa
xn = q.xn−1 .

Định lý
Cho một dãy cấp số nhân (xn ), khi đó ta có các tính chất sau:
Số hạng tổng quát có công thức
xn = x1 .qn−1 .
Tổng n số hạng đầu tiên
Sn = x1 + x2 + ... + xn = x1

(1 − qn )
.
1−q

mọi > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x mà 0 < x0 − x < δ(0 < x − x0 < δ)
thì |f(x) − L| < .
Kí hiệu: lim− = L (giới hạn trái) và lim+ = L (giới hạn phải)
x→x0

x→x0

17


Giới hạn hàm số

Các định lí về giới hạn

Định lý
Giới hạn lim f(x) = L tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim− f(x), lim+ f(x) và
x→x0

x→x0

lim f(x) = lim+ f(x) = lim f(x) = L

x→x0

x→x0

x→x0

Ví dụ
Tìm giới hạn của hàm số f(x) =


x→a

x→a

lim f(x)

f(x)
x→a
=
(nếu lim g(x)
x→a g(x)
x→a
lim g(x)

iii) lim

0)

x→a

Hệ quả
Nếu các giới hạn lim f(x) và lim g(x) tồn tại, hữu hạn thì
x→a

x→a

i) lim Cf(x) = C lim f(x);
x→a


lim u(x) = b và lim f(u) = L.

x→a

u→b

Tồn tại số δ > 0 sao cho với x ∈ (a − δ, a + δ) và x
thì u(x) b. Khi đó lim f (u(x)) = L.
x→a

Định lý (Định lí kẹp)
Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) và
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) trên một lân cận của a;
lim f(x) = lim g(x) = L.

x→a

x→a

Khi đó, lim h(x) = L.
x→a

20

a.


Giới hạn hàm số

Các định lí về giới hạn


Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL)

Định nghĩa

Định nghĩa
Cho hàm số α(x),
Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a nếu lim α(x) = 0.
x→a

Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → a nếu lim |α(x)| = ∞.
x→a

Tổng hai VCB là một VCB;
Tích một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB;
Tích hai VCL là một VCL;
Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL;
1
Nếu α(x) 0 là một VCB thì
là một VCL, ngược lại, nếu α(x)
α(x)
1
là một VCL thì
là một VCB.
α(x)

22

0


α∗ (x)
và nếu tồn tại lim ∗
thì
x→a β (x)
α(x)
α∗ (x)
= lim ∗
.
x→a β(x)
x→a β (x)
lim

Chú ý
Khi x → 0, ta
sin x ∼ x;
arcsin x ∼ x
ex − 1 ∼ x;

có các cặp VCB tương đương sau:
tan x ∼ x
arctan x ∼ x
ln(1 + x) ∼ x
ax − 1 ∼ x ln a
a
(1 + x) ∼ 1 + ax, (a 0).


Hàm số liên tục

Khái niệm