10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
§1. Khái niệm cơ bản
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân
§3. Cực trị của hàm hai biến số
……………………….
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.
Các đ
ịnh nghĩaa)
Miền phẳng

• Trong mặt phẳng
Oxy
, hình phẳng
D
giới hạn bởi các

D

được gọi là miền đóng
,
miền phẳng
D
không kể biên
D

là miền mở.
• Miền phẳng
D
được gọi là miền liên thông
nếu có 1
đường cong nằm trong
D
nối 2 điểm bất kỳ thuộc
D
.

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi
là miền đơn liên (hình a)
; có biên là nhiều đường cong
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi

(,)
Mxy
, bán kính
0

được
gọi là một
lân cận
của điểm
M
.
Nghĩa là:
22
00000
(,)(,)()()MxySMxxyy

.
M

•
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến

2
D

¡
được gọi là miền xác định (MXĐ) của h
àm
số, ký hiệu
f
D
. Miền giá trị của hàm số là:


(,)(,)
f
GzfxyxyD
¡ .
VD
• Hàm số
2
(,)3cos
fxyxyxy
 có
2
f
D 
¡
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.

, bán kính
2
R

.

Chú ý
• Trong trường hợp xét hàm số
(,)
fxy
mà không nói gì
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
2
(,)Mxy
¡
sao cho
(,)
fxy
có nghĩa.
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.

1.2.
Giới hạn của hàm số hai biến
s
ố
(
xem giáo trình
)
chứa điểm
000
(,)
Mxy
. Cố định
0
y
, nếu hàm số
0
(,)
fxy
có đạo hàm tại
0
x
thì ta gọi đạo hàm đó là
đạo hàm riêng
theo biến
x
của hàm số
(,)
fxy
tại
00
(,)
xy
.
Ký hiệu:
00
(,)
x





10/13/2012
2
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Chú ý
• Nếu
()
fx
là hàm số một biến
x
thì
/
x
fdf
f
xdx





ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
4323
(,)323
fxyxxyyxy
 tại
(1;2)

.
Giải.
/322/
(,)493(1;2)46
xx
fxyxxyyf

./32/



,
/
22
2
1
y
y
z
xy


.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của
cos
x
z
y
 tại

32
yy
y
xxxx
zz
yyy
y











.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của

fez

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số
/
(,)
x
fxy
,
/
(,)
y
fxy
được gọi là các
đạo hàm riêng cấp hai
của
(,)
fxy
.


,

 
2
2
2
y
y
yy
y
f
f ff
y
f
yy





















,

 
2
yxyx
x
y
f
ff
xy
f
f
xy












fxyxexyy

tại
(1; 1)

.
Giải. Ta có
/23
/3223
32
34
y
x
y
y
fxexy
fxexyy












10/13/2012

fxexyy
















2
2
//
//
//
(1;1)62
(1;1)36
(1;1)6.
x
xy
y
fe
fe

fxyxyxy
 .
Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm
32
(5)
(1;1)
xy
f

là:
A.
32
(5)
(1;1)480
xy
f 
; B.
32
(5)
(1;1)480
xy
f 
;
C.
32
(5)
(1;1)120
xy
f  ; D.
32

fxy


32
(5)
3
480
xy
fxy

32
(5)
(1;1)480.
xy
fA

ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
• Định lý Schwarz
Nếu hàm số
(,)
fxy

biếnbiến
VD 7. Đạo hàm riêng
22
()
(2)
mn
mn
xyx
zm



của
2
xy
ze


là:

A.
2
(1)2
nmnxy
e


; B.
2
(1)2

/2
2
xy
x
ze


2
//
22
2
xy
x
ze


()
2
2
m
m
mxy
x
ze


2
(1)(2)
22
22

biếnbiến
2.2. V
I PHÂN

2.2.1.
Vi phân cấp 1

a) Số gia của hàm số

• Cho hàm số
(,)
fxy
xác định trong lân cận
0
(,)
SM

của điểm
000
(,)
Mxy
. Cho
x
một số gia
x

và
y
một
số gia

,
y

mà số
gia
f

tương ứng có thể viết được dưới dạng


22
()(.
)
.,fAxByOr
rxy
  

trong đó
,
AB
là những số
chỉ phụ thuộc vào điểm
000
(,)
Mxy
và hàm
(,)
fxy
, không phụ thuộc
,

10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Nhận xét

• Xét những điểm
00
(, )
Mxxyy

dịch chuyển
trên đường đi qua
0
M
song song
Ox
. Khi đó
0
y

:




.
Suy ra
//
(, )(, ).(, ).
xy
dfxyfxyxfxyy

.
• Xét
(, )(,)
fxyxdfxyxdxx

.
Tương tự,
dyy

.
Vậy
(, )(, )(, ).
xy
dfxyfxydxfxydy



ØØ
ChươngChương
6. 6.

.

VD 8. Cho hàm
25
(,)
xy
fxyxey


. Tính
(1;1)
df

.
Giải.
/2/2
/24/2
(2)(1;1)3
5(1;1)5
xy
xx
xy
yy
fxxefe
fxeyfe






xy
zexy


.
Giải.

2
/222
2sin()cos()
xy
x
zxxyyxye





,

2
/22
sin()2cos()
xy
y
zxyxyxye





tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
2.2.2. Vi phân cấp 2
• Giả sử
(,)
fxy
là hàm khả vi với
,
xy
là các biến độc
lập. Các số gia
,
dxxdyy

tùy ý độc lập với
,
xy
nên được xem là hằng số đối với
,
xy
. Vi phân của
(,)
dfxy
được gọi là vi phân cấp 2 của
(,)
fxy

độc lập.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 10. Cho hàm số
23235
(,)3
fxyxyxyxy
 .
Tính vi phân cấp hai
2
(2;1)
df

.
Giải. Ta có:
/3225
/2234
29
3215
x
y
fxyyxy
















Vậy
222
(2;1)34340460
dfdxdxdydy

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai

Vậy
22222
2
dfxdxydy


.
10/13/2012
5
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)
• Hàm
(,)
zxy
xác định trên
2
z
D

¡
thỏa






ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Giải.
Ta có
(,,)cos()
Fxyzxyzxyz


/
/
/
sin()
sin()
sin().
x
y
z

,

/
sin()
sin()
y
xzxyz
z
xyxyz



.
VD 12. Cho hàm ẩn
(,)
zxy
thỏa phương trình:
cos()
xyzxyz

. Tính
//
,
xy
zz
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép












.
VD 13. Cho hàm ẩn
(,)
zxy
thỏa phương trình mặt cầu:
222
24620
xyzxyz

. Tính
/
y
z
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính

f

thì
00
(,)
fxy
là giá trị cực tiểu và
0
M
là
điểm cực tiểu của
(,)
zfxy

.
• Nếu
0
f

thì
00
(,)
fxy
là giá trị cực đại và
0
M
là
điểm cực đại của
(,)
zfxy



2
(,)0,(,)fxyxy
¡
nên đạt cực tiểu tại
(0;0)
O
.

ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
3.2. Đ
ỊNH LÝ

a) Điều kiện cần• Nếu hàm số
(,)
zfxy


có thể không là điểm cực trị.
10/13/2012
6
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
b) Điều kiện đủ

Giả sử
(,)
zfxy

có điểm dừng là
0
M
và có đạo hàm
riêng cấp hai tại lân cận của điểm
0
M
.
Đặt
22
////

đạt cực tiểu tại
0
M
.
• Nếu
2
0
()
0
,
A
fy
AB
x
C












đạt cực đại tại
0
M

Oxyz
,
xét mặt cong
S
chứa
đường cong
()
C
.
• Chiếu
S
lên mp
Oxy

ta được miền
2
D

¡

và đường cong phẳng

():(,)0
xy

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép

PC

là điểm cao nhất
(hay thấp
nhất)
so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình
chiếu
2
()
M

là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc
bởi
():(,)0
xy

của hàm
(,)
fxy
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến













• Bước 2. Tính
2
//
//
0000
(,), (,)
xy
x
AfxyBfxy
,

2
//
00
2
(,)
y
Cfxy












22
2
()()0
20
xyxy
xxyx












2


.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Giải.
/
/
240
220
x
y
zx
zy
















.
Vậy
(2; 1)
M

là điểm cực tiểu và
3
CT
z

.
VD 3. Tìm cực trị của hàm
22
428
zxyxy

.
Hình 1
10/13/2012
7
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép


không là điểm cực trị.
• Tại
2
M
:
60,30
ACB


Vậy
2
(1;1)
M
là điểm cực tiểu và
3
CT
z

.
Giải. Ta có
/2/2
330,330
xy
zxyzyx


VD 4. Tìm cực trị của hàm số
33
32

xy
zxyx
xyy
zxyy



















1234
(0;0),(0;2),(1;1),(1;1)
MMMM

là 4 điểm dừng.

Do

z

.
Hình 3
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 6. Cho hàm số
5020
(0,0)
zxyxy
xy

.
Khẳng định đúng là:
A.
z
đạt cực tiểu tại
(2;5)
M
và giá trị cực tiểu
39
z


.
Giải. Ta có
//
22
5020
0,0
xy
zyzx
xy


ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
2
2
50
20
xy
xy















.
Vi phân cấp hai:
22
////
/
33
10040
,1,
xy
xy
zzz
xy

2
30
ACBB

.

(,)
Mxy
thuộc đường cong
():(,)0
xy

.
Nếu tại
0
M
hàm
(,)
fxy
đạt cực trị thì ta nói
0
M
là
điểm cực trị có điều kiện của
(,)
fxy
với điều kiện
(,)0
xy

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính

3033
xyyxzxx

.
Ta có
2
3602,0
zxxxx


.
•
21
xyz

đạt cực đại tại điểm
1
(2;1)
M

.
•
03
xyz

đạt cực tiểu tại điểm
2
(0;3)
M
.

là
nhân tử Lagrange
.

Đ
ể

t
ìm

c
ự
c

t
r
ị

t
a

t
h
ự
c

h
i
ệ
n


.
• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại
000
(,)
Mxy
ứng với
0

:
22
////
22//2
0
()2.
xy
xy
dLMLdxLdxdyLdy


ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến



• Bước 4.

Từ điều kiện
ràng buộc
(1) và (2), ta có:

Ø Nếu
2
0
()0
dLM

thì
(,)
fxy
đạt cực tiểu tại
0
M
.
Ø Nếu
2
0
()0
dLM

thì
(,)
fxy

tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số
(,)2
fxyxy


với điều kiện
22
5
xy

.
Giải. Lập hàm Lagrange:
2222
5(,)5
xyxyxy


22
(,,)2(5)
Lxyxyxy

.
Tìm điểm dừng:
/








ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
11
22
22
1
1
(2; 1),
1
2
1
2
(2;1),
11
2









.
Vi phân cấp hai
222
(,)2()
dLxydxdy
.
•
222
11
()()0
dLMdxdyM

là điểm cực đại.
•
222
22
()0
dLMdxdyM

là điểm cực tiểu.
Hình 6
ØØ








.
22
//
0,0,10
482
xy
xxy
LyLxy


10/13/2012
9
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Vi phân cấp hai

22
33
22
44
(2; 1), 2
4
(2;1), 2
(2; 1), 2
48
(2;1), 2
M
M
xy
M
xy
M















• Tại các điểm
234
,,
MMM
ta làm tương tự.
Cách khác (dùng trong trắc nghiệm)

222
1
1
()22
2
dLMdxdxdydy




2
1
1
20
2
dxdyM
 là điểm cực đại.

Hình 7
………………………………………………………