10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ
1.1. Định nghĩa
• Cho dãy số có vô hạn các số hạng
12
,, ,,
n
uuuBiểu thức12
1

nn
n
uuuu







được gọi là
tổng riêng thứ
n
của chuỗi số.

ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
• Nếu dãy


n
n
S

¥
hội tụ đến số
S
hữu hạn thì ta nói
chuỗi số hội tụ và có tổng là
S
, ta ghi là
1

1
q

:
n
Sna

chuỗi phân kỳ.
•
1
q

:
1
11

11
nn
n
qq
Sua
qq




Với
1
q


.
Giải. Ta có:

1111

1.22.33.4(1)
n
S
nn



1111111
1
223341
nn











Với
1
q






.
Giải. Ta có:
1
ln1ln(1)ln
nn
n









(ln1ln2)(ln2ln3)
n
S
(ln3ln4) [lnln(1)]

chuỗichuỗi
Giải.
1111
1
234
n
S
n

1
.
n
Snn
n

chuỗi phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
• Nếu chuỗi
1
n
n
u



n
n
nn




.
Giải. Ta có:
4
4
10
32
n
n
u
nn


chuỗi phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
10/13/2012
2
VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5




hội tụ thì:
111
()
nnnn
nnn
uvuv




.
• Nếu
1
n
n
u



hội tụ thì:
11
nn
nn
uu




0,
n
un

thì chuỗi số là dương thực sự.
2.2. Các định lý so sánh
Định lý
1
.
Cho hai chuỗi số dương
11
,
nn
nn
uv



thỏa:
0
0,
nn
uvnn

.
• Nếu
1
n
n
v

ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
.2
n
n
n



.
Giải. Ta có:
11
,1
.22
nn
n
n

.
Do
1
1
2
n














.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
Giải. Xét hàm số
()ln(1)
fttt

ta có:
()0,0()0,0
1
t
fttftt
t










phân kỳ nên
1
1
n
n



phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
Định lý 2
Cho hai chuỗi số
11
,
nn
nn

thì
1
n
n
u



phân kỳ
1
n
n
v




phân kỳ.
• Nếu
k

thì
1
n
n
u



hội tụ

1
1
2(1)
.3
n
n
n
n
n





bằng cách

so sánh với
1
2
3
n
n









Do
1
2
3
n
n












hội tụ nên
1
1
2(1)
.3
n
n
n
n
n



5
1
1
23
n
n
n





.
Giải. Ta có
53
111
:
2
23
n
nn



.
Do
3
1
1
n

n
nn



: .
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
Do
3
1
2
1
2.
n
n



hội tụ nên
5
1
1
23
n
n

D
u



.
• Nếu
1
D

thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
D

thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
D

thì chưa thể kết luận.

VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
11
1
3
n
n
n

















ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
2
2
221
1
3(1)3
21
n
nnn

.
Giải. Ta có:
1
1
5(1)!(1)!5.!!
:
(22)!(2)!
nn
n
n
u
nnnn
unn






2
5(1) 5
1
(22)(21)4
n
nn



chuỗi phân kỳ.
ØØ


thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
C

thì chưa thể kết luận.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2
n
n












.
Giải. Ta có:
1




.
Giải. Ta có:
3
n
n
n
u

chuỗi phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
10/13/2012
4
2.3.3. Tiờu chun Tớch phõn Maclaurin Cauchy
Cho hm s
()
fx
liờn tc, khụng õm v gim trờn n
a
khong
[;),
kk


x


phõn k

chui
3
2
1
1
n
n



phõn k.
ỉỉ
ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt
chuichui
VD 10. Xột s hi t ca chui s
3
2
1
ln
n
nn


chuichui
Đ3. CHUI S Cể DU TY í
VD 1.
1
(1)
n
n
n




,
1
1
1
21
(1)
2
n
n
n
n








v
0
n
u

thỡ chui1
(1)
n
n
n
u




hi t. Khi ú, ta gi l
chui Leibnitz
.
ỉỉ
ChngChng
7. 7.
LýLý
thuytthuyt
chuichui
VD 2. Xột s hi t ca chui s
1
(1)

n
n






.
Gii.
1
111
0
22
2
n
n
u


khụng cú kt lun.
t
1
11
21
(1)
2
n
n
n

111
21:
22
2
n
k
nkv


.
Do
lim
n
n
v



nờn
1
0
nn
n
vv




phõn k.
ỉỉ

nnn
n







2
1
1
n
n




l chui iu hũa nờn phõn k.

2
(1)
1
n
n
n
n

• Chuỗi
1
,
nn
n
uu




¡
được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.
•
1
n
n
u



được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
1
n
n
u



hội tụ.
•

n




là bán hội tụ.
ØØ
ChươngChương
7. 7.
LýLý
thuyếtthuyết
chuỗichuỗi
b) Định lý
Nếu
1
n
n
u



hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý
1
n
n
u



hội tụ.

2
1
cos()
n
n
n
n



hội tụ.

Vậy chuỗi
s
ố

đ
ã

c
h
o

hội tụ tuyệt đối.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
(1)(2)
3

n
n
n












nên
1
1
(2)
3
n
n
n





hội tụ.




hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.