§3. Các mối liên hệ tuyến tính trong

Các nội dung chính
I. Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn
tuyến tính
1. Tổ hợp tuyến tính
2. Phép biểu diễn tuyến tính
1


II. Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
1. Khái niệm sự phụ thuộc – độc lập
tuyến tính.
2. Xét sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính
của một hệ vectơ.
3. Một số ví dụ
III. Một số kết quả về sự PTTT – ĐLTT.
2


§3. Các mối liên hệ tuyến tính trong
I. Tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn
tuyến tính
1. Tổ hợp tuyến tính:
Trong

Lấy m số thực bất kỳ
tổng

,


+ Từ một hệ véc tơ cho trước có thể lập
được vô số các tổ hợp tuyến tính.
4


+ Tổng hai tổ hợp tuyến tính bất kỳ của

,

cùng một hệ véc tơ

,…,

là một

tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đó:
+

+ ⋯+
+

=

+

+

+

+⋯+

6


Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến

,

tính của hệ véc tơ n chiều

,…,

cho trước:
=

+

+⋯+

,

,..,

∈

là không gian véc tơ con của không gian
.
Hãy chứng minh định lý trên
7



nếu tồn

sao cho:
+ ⋯+

Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y,
tức là: tồn tại số
nói X, Y tỷ lệ

sao cho:

=

thì ta
9


Ví dụ 1: Cho các vectơ

=

=
=

,−
,
,

⇒



, ,

= − ,

, ,

Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ
vectơ

,

,

hay không?
11


=

,

− , ,

=

,

− , ,



Trả lời:
Xét hệ thức:

=

+

+ ⋯+

Thay số ta được:

 X1 
 X2 
 Xm   X 








1    2      m   
 
 

  
  
  

X






Các véc tơ được xếp dạng cột
15


Thường giải hệ này bằng phương pháp
Gauss:
+ Nếu hệ vô nghiệm thì X không biểu
diễn tuyến tính được qua

,

,…,

+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì X biểu
diễn

,

tuyến

tính

duy


Thay số ta được

Đs:

= −30

+ 49

− 22
18


Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ

X1  1,  2, 3, 0 

X 2   2, 3,  1, 5 

X


3,
4,
3,
2


3



Đồng nhất các thành phần tương ứng ta
được hệ:

 k1
2k

1


3k
1



 2k 2

 3k 3



1

 3k 2
 k2
5k 2

 4k 3
 3k 3
 2k 3



0
5
2
k


0
1
1 
1 2 3
0
 0 1 2 1 
 

0 0 4
4 
0



0
0
12
k

5



Ta

nói

rằng

hệ

vectơ

phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ

khi tồn tại m số thực

,

,…,

trong đó

có ít nhất một số khác 0, sao cho:

1 X 1   2 X 2     m X m  0 n   
24


Ngược lại, nếu đẳng thức (∗) chỉ thỏa
mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0:

=