Tập đoàn bu chính viễn thông việt nam
Học viện công nghệ bu chính viễn thông
Bài giảng
Toán cao cấp 1
(Học phần giải tích)

(Dnh cho khi ngnh kinh t)
Biên soạn: Nguyễn Thị Dung

2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 29
2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 30
2.2. Vi phân của hàm số 33
2.2.1. Định nghĩa vi phân 33
2.2.2. Các quy tắc tính vi phân 33
2.2.3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng 33
2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao 34
2.3.1. Đạo hàm cấp cao 34
2.3.2. Vi phân cấp cao 36
2.4. Các định lí giá trị trung bình 37
2.4.1. Định lí Fermat 37
2.4.2. Định lí Rolle 37
2.4.3. Định lí Lagrange 38
2.4.4. Định lí Cauchy 39
2.4.5. Công thức Taylor, công thức Maclaurin 39
2.5. Một số ứng dụng của đạo hàm 40
2.5.1. Sử dụng qui tắc Lôpitan để tính các giới hạn dạng vô định 40
2.5.2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số 43
2.5.3. Cực trị của hàm số 44
2.5.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đóng 45
Bài tập 46

Chương 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 51
PTIT
5
3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định 51
3.1.1. Nguyên hàm của hàm số 51
3.1.2. Tích phân bất định 51
3.1.3. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 52
3.1.4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định 53


Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 103
5.1. Khái niệm chung về phương trình vi phân 103
5.2. Phương trình vi phân cấp một 103
5.2.1.Đại cương về phương trình vi phân cấp một 104
5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một 105
5.3. Phương trình vi phân cấp hai 112
5.3.1. Các khái niệm cơ bản 112
5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 113
Bài tập 126

ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý 129
Tài liệu tham khảo 141 PTIT
3

LỜI NÓI ĐẦU

Toán cao cấp 1 là một trong những môn học đầu tiên của sinh viên khối ngành kinh tế. Học
phần này bao gồm những nội dung sau:
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm và vi phân
Chương 3: Phép tính tích phân
Chương 4: Hàm số nhiều biến số
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 1 trình bày những khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số một biến, giới hạn hàm một
biến và hàm số một biến liên tục.
Chương 2 và chương 3 gồm các nội dung về đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm một biến.

1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn
Định nghĩa:
Hàm số
: u

 

( )
n
n u n u
gọi là một dãy số thực.
Dãy số thường được viết dưới dạng
 
n
u
hoặc
1 2
, , , ,
n
u u u

n
u gọi là số hạng tổng quát của dãy số
 
.
n
u

Định nghĩa:
Dãy

   

giảm ngặt nếu
1n n
u u

 ,
.n

 

Dãy số tăng hoặc giảm gọi là dãy số đơn điệu.
Dãy số tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là dãy số đơn điệu ngặt.
Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy

 
n
u
bị chặn trên nếu
A 
sao cho
n
u A ,
n

  

u
với
1
n
u
n

gồm các số hạng là
1 1 1 1
1, , , , , ,
2 3 4 n
 
n
u
là dãy giảm ngặt, bị chặn.
1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

7
 Dãy
 
n
u
được gọi là có giới hạn
l 
nếu với mỗi số dương

.n  

 Dãy
 
n
u
được gọi là hội tụ nếu có số
l 
để
lim .
n
n
u l



Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.
 Dãy
 
n
u
được gọi là có giới hạn

nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại số
0
n


sao cho:


n
n n n u A

    

Kí hiệu
lim .
n
n
u

 

Ví dụ 1.2: Chứng minh
1
lim 0.
n
n



Giải:

1 1
0, 0 n
n
 

     


gồm các số hạng
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800,
1 1 1 1 1
, , , , , ,
9 10 11 12 n

Ta thấy
lim 0.
n
n
u

Ví dụ 1.4: Xét dãy
 
n
u
trong đó với mọi
n
.
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

8
Dễ thấy
lim .
n
n

n n
n n
u u
 
  

3.
lim ,lim lim( ) .
n n n n
n n n
u a v b u v a b
  
     

4.
auau
n
n
n
n



limlim
,

là hằng số.
5.
,0lim 


a
u a v b
v b
  
    

D. Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp
1. Giả sử lim
n
n
u l

 và
a l b 
. Khi đó
0 0
sao cho n n n

  
.
n
a u b  
2. Giả sử
lu
n
n


lim
và



4. Giả sử
0
,n n 
n n
u v và
lim .
n
n
u

 
Khi đó
lim .
n
n
v

 

E. Tính chất của dãy số đơn điệu

1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
3. Dãy
 
n
u
tăng và không bị chặn trên thì dần đến .

Trước hết ta sẽ chỉ ra
 
n
e
tăng. Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có:





























n
n
nnn
k
nnkn
nn
nnnn
n
nnn
n
nn
n
n
n
e
n
n
n
1
1
1
1
!
11
1
2
1

1 1 1 1 1 1
! 1 1 1 ( 1)! 1 1 1
n
n
e
n n n n
n n
n n n n n n n n


      
        
      
   
      

         
        
         
      
         

Nhận xét:
1n
e

nhiều hơn
n
e một số hạng dương và từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của
n

!3
1
!2
1
2


n
n
n
e 
,
Như vậy
1
2
2 3,
1
1
2
n
e n   

. Dãy
 
n
e
tăng và bị chặn trên nên hội tụ.
Gọi giới hạn của
 
n

A. Định nghĩa hàm số
Cho
, .X Y  

Một hàm số f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử
x X
một phần tử duy
nhất
.y Y:
( )
f X Y
x y f x

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

10
X được gọi là tập xác định của hàm số f.
Phần tử
x X
được gọi là biến số.
Số thực
( )y f x
gọi là giá trị của hàm số f tại x (hay gọi là ảnh của x bởi hàm số f ).


( )( ) ( ) ( )f g x f x g x  ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x  ( )( ) ( ) ( )fg x f x g x

theo thứ tự gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số
, .f g

Ngoài ra, nếu
( ) 0g x 
với
x X 
thì hàm số :
f
X
g
  xác định bởi

( )
( )
( )
f f x
x
g g x

gọi là thương của hai hàm số



sao cho với mọi
,x X
ta có:
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

11
x +

X
và
f
(x +

) =
f
(x).
Số T dương bé nhất trong các số

gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn
( ).f x
Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên X , f được gọi là
tăng trên X nếu:
1 2 1 2 1 2


bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho
( )B f x A 
,
.x X D. Hàm số hợp
Định nghĩa:
Cho các hàm số
f
:
X Y
và g:
Y  

Hàm số hợp của hai hàm số
f
, g kí hiệu là
g f
và xác định như sau: :
( ) ( ( )).
g f X
x g f x g f x


 


PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

12
Nói cách khác,
z g f 
trong đó 3
:
( ) 2
f
x u f x x x

   
 

và
:
( ) sin
g
u g u u


 

a
y x là hàm số ngược của hàm số
x
y a ).
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân
giác thứ nhất.

1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
A. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1.
Hàm lũy thừa
:
( )f x x



(
0,x

 
).
2. Hàm số mũ: ( ) ( 0, 1).
x
f x a a a  
3. Hàm số lôgarit: ( ) log ( 0, 1).
a
f x x a a  
4. Các hàm số lượng giác:
( ) sin , ( ) cos , ( ) tan , ( ) cotf x x f x x f x x f x x   
.

Như vậy,
arcsin sin .y x x y  

 Hàm arccos là hàm số ngược của hàm số
   
cos : 0, 1,1 .

 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

13

   
arccos : 1,1 0,

 

arccosx x
Như vậy,
arccos cos .y x x y  

 Hàm arctan là hàm số ngược của hàm số
tan : , .
2 2
 
 
 
 
arccotx x

Như vậy, arccot coty x x y   .

Ví dụ 1.7: Tính
1 1
arcsin ,arccos ,
2 2
arctan0, arccot1.

Giải:

1
arcsin
2 6


vì
1
sin
6 2


và
,
6 2 2
  
 


  

Tương tự,
arctan arccot .
2
x x

 

B. Hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng,
trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

14

1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số
A. Định nghĩa giới hạn hàm số
Cho hàm số f xác định trên tập
 
0
( , )X a b x \
,
0
( , ).x a b
f được gọi là có giới hạn
l 

0
0 x x 
, ta chỉ cần xét những điểm
x
dần đến
0
x nhưng khác
0
.x Hàm
số
f
có thể không xác định tại
0
.x

B. Định nghĩa giới hạn một phía
 Cho hàm số f xác định trên khoảng
0
( , ).X x b
Số thực l được gọi là giới hạn phải của hàm số
( )f x
tại
0
x nếu với mỗi số dương

cho trước
bé tùy ý, tồn tại một số dương

sao cho:


sao cho:

0 0
( ) ( )x X x x x f x l
 
       

Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x l


 hoặc
0
( ) .f x l



Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
x x
f x l


là
0 0
lim ( ) lim ( ) .

0
( ) 0 ( ) .x X x x f x A

      

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

15


0
lim ( )
x x
f x

 
nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương

sao cho:

0
( ) 0 ( ) .x X x x f x A

      

2. Cho hàm số f xác định trên khoảng
( , ).X a 
( , )X a 
.

 lim ( )
x
f x l

 nếu
0, :( ) ( ) .A x X x A f x l
 
           lim ( )
x
f x

  nếu
0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A          lim ( )
x
f x

  nếu
0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A        

Tương tự, ta có các định nghĩa
0 0

(

bé), lấy

 


( ): 0 sin 0x x x
 
     

0
limsin 0.
x
x



b)
0

,
1 1
.x A
x


   
Từ đó:
*

x

 
Vậy
1
lim 0.
x
x



PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

16
1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn
A. Sự liên hệ với dãy số

Định lí 1.2: Giả sử
( , )a b
chứa điểm
0
x và
f
là hàm số xác định trên tập
 
0
( , ) \X a b x
. Khi đó
0

Với
 
n
x X 

Có
0
lim
n
n
x x


nên
0 0 0
:
n
n n n x x


      

Như vậy
0 0
0, : ( )
n
n n n f x l
 

        

0
.x x Khi đó 0, 0, x
 
     mà
0
0 x x

  
nhưng
( ) .f x l

 *
n 
, lấy
1
,
n
x
n

 
để
0
1
0
n
x x

x x
f x l



Nhận xét: Có thể chứng minh định lí 1.2 đúng cả khi
0
, .x l   

Ví dụ 1.9: Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
lim sin .
x
x


Giải:

Đặt
( ) sin .f x x

Lấy dãy
 
n
x
với
2 ,
2
n
x n



 
nhưng
lim ( ) 0 1.
n
n
f x

 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

17
Vậy không tồn tại
lim ( ).
x
f x
B. Tính duy nhất của giới hạn
Định lí 1.3: Nếu
0
lim ( )
x x
f x l


thì

( ).x x x
Nếu
l d
thì
( )f x d
với mọi x đủ gần
0 0
( ).x x x
Nếu
c l d 
thì
( )c f x d 
với mọi x đủ gần
0 0
( ).x x x
Định lí 1.6: Giả sử
0
lim ( ) .
x x
f x l


Khi đó:
Nếu
)(xfc 
với mọi x đủ gần
0 0
( )x x x thì
.c l


x x x x
f x h x l
 
 

Khi đó
0
lim ( ) .
x x
g x l



Định lí 1.8: Giả sử
( ) ( )f x g x
với mọi x trong lân cận nào đó của
0
x và
0
lim ( ) .
x x
f x

  Khi
đó
0
lim ( ) .
x x
g x


0 0
lim ( ) 0 lim ( ) 0.
x x x x
f x f x
 
  

3.
0
1
lim ( ) ,
x x
f x l

 và
 
0 0
2 1 2
lim ( ) lim ( ) ( ) .
x x x x
g x l f x g x l l
 
    

4.
0 0
lim ( ) lim ( ) , .
x x x x
f x l f x l
  

g x l f x g x l l
 
  
7.
0
1
lim ( )
x x
f x l

 và
0 0
1
2
2
( )
lim ( ) 0 lim .
( )
x x x x
lf x
g x l
g x l
 
   

Mệnh đề: (Trường hợp giới hạn là vô hạn)
1. Nếu
0
lim ( )
x x

0
lim ( ) ( ) .
x x
f x g x

  
2. Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( )
x x
g x

  thì
 
0
lim ( ) ( ) .
x x
f x g x

  
Nếu
0
lim ( )
x x

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( ) 0
x x
g x l

  thì
 
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
4. Nếu
0
lim ( )
x x
f x

  và
0
lim ( )
x x
g x

  thì
 
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
Nếu
0
lim ( )
x x

0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x

 
5. Nếu
0
lim ( ) 0
x x
f x

 và
( ) 0f x 
với mọi x đủ gần
0
x
0
( )x x thì
0
1
lim .
( )
x x
f x

 
Nếu
0
lim ( ) 0

: , : .f X Y g Y  

Giả sử
0
lim ( )
x x
f x a


và
lim ( ) .
y a
g y l

( )f x a
với mọi x đủ gần
0 0
( ).x x x

Khi đó
0
lim ( ) .
x x
g f x l





( )f x a
với mọi x đủ gần
0 0
( )x x x
nên
với
1 0 1
0, 0: ( ) 0 0 ( )x X x x f x a
   
           ( ( )) .g f x l

  Chứng tỏ
0 1
( ) : 0< ( ( )) .x X x x g f x l
 
      

Vậy
0
lim ( ) .
x x
g f x l


3
x
x
x




c)
0
lim ;
x
x
x

d)
4
2 1 3
lim ;
2 2
x
x
x

 
 

e)
0
1

  


c)
0 0
lim lim 1
x x
x
x
x x
 
 
 
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

20

0 0
lim lim 1 1
x x
x
x
x x
 
 

   
Vậy không tồn tại
0

 
 

Ví dụ 1.11: Tìm các giới hạn:

a)
 
5 3
lim 5 2 3 4 ;
x
x x x

  
b)
6
4 3
lim .
6
x
x
x



Giải:
a)
5 3 5

lim 5 2 3 4 .
x
x x x

    
b)
 
6
lim 4 3 21
x
x


  
6
lim 6 0.
x
x


 

Vì khi
6x


ta luôn có

1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ
a)
1
sin
lim
sin
lim
00


x
x
x
x
xx

b)
1 1
lim 1 lim 1 .
x x
x x
e
x x
 
   
   
   
   

Tổng quát: Nếu



PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

21

Ví dụ 1.12: Tính
2
0
cos cos3
lim .
x
x x
x



Giải:

2 2
0 0 0
cos cos3 2sin 2 .sin( ) sin 2 .sin
lim lim lim .4 4.
2 .
x x x
x x x x x x
x x x x
  
  

2
2
2
2 2
1 2
lim lim 1 = .
1 1
x
x
x x
x
e
x x




 
 

 
 
 
 
 
 
 

1.3.4. Đại lượng vô cùng bé (VCB), đại lượng vô cùng lớn (VCL)
A. Đại lượng VCB


Ví dụ 1.14:
Hàm số
( ) sinx x


là đại lượng VCB khi
0.x 3
1
x
là VCB khi
.x  2
( 1)x x  là VCB khi
1 .x



So sánh các VCB:
Cho
)(),( xx

là các VCB tại
0
x .

x .
* Nếu
0
( )
lim 1
( )
x x
x
x



 thì

,
được gọi là các VCB tương đương tại
0
x .
Kí hiệu

~
tại
0
x .
PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

22
Ví dụ 1.15:
3

x .
* Nếu
1 1
~ , ~
   
tại
0
x thì
0 0
1
1
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
x x
x x
 
 
 

.
* Nếu
)(

o
khi x dần đến
0
x thì


( )
m
i
i
n
x x x x
j
j
x
x
x
x





 




.
Ví dụ 1.16: Tính các giới hạn:
a)
0
sin 2
lim
sin 7
x

 

b) Áp dụng quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao, ta có:

4 3 2 2
5 4 3 2 2
0 0
2 3 3 3 3
lim lim .
3 2 3 2 2 2
x x
x x x x
x x x x x
 
 
  
   B. Đại lượng VCL
Định nghĩa:

Hàm số
:f X 
được gọi là đại lượng VCL khi x dần đến
0
x (hoặc VCL tại
0
x ) nếu
0

( )
lim
( )
x x
f x
g x

  thì
f
gọi là VCL cấp cao hơn
g
tại
0
x , hay
g
là VCL cấp thấp hơn
f
tại
0
x .
* Nếu
0
( )
lim 1
( )
x x
f x
g x

 thì ta nói rằng

x x x x
f x f x
g x g x
 

.
* Nếu
f
là VCL cấp cao hơn
g
tại
0
x thì
~f g f
tại
0
x .
* (Qui tắc ngắt bỏ các VCL cấp thấp)
Giả sử
f
là VCL cấp cao nhất trong các VCL , 1, 2, ,
i
f i m

g
là VCL cấp cao nhất trong các VCL
, 1,2, ,
j
g j n
, tại

Ví dụ 1.17: Tìm các giới hạn:

2
2
1
lim .
2 2
x
x x
x

 


Giải:

2 2
2 2
1 1
lim lim .
2 2 2 2
x x
x x x
x x
 
 
 

nhưng
3
1
( ) ( )f x f x x  
không tương đương với
3
1
( ) ( )g x g x x 
khi
0.x 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

24
* Với
3 2
( ) ,f x x x 
3 2
( ) ,g x x x 
3
1 1
( ) ( )f x g x x  

Ta có:
f g
và
1 1
f g khi x   nhưng
2

Cho hàm số
0
: , .f X x X 

f
được gọi là liên tục trái tại
0
x nếu
0
0
lim ( ) ( ).
x x
f x f x




f
được gọi là liên tục phải tại
0
x nếu
0
0
lim ( ) ( ).
x x
f x f x



Nhận xét:

liên tục trên đoạn [a,b].
Định nghĩa được phát biểu tương tự trong các trường hợp f liên tục trên


,a b
,


,a b
.
1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục
0
x
x
0
( )f x

O
y
Hàm số liên tục tại
0
x
( )y f x

H.1.1
0
x

x
0

liên tục tại
0
x thì
)()( xgxf 
liên tục tại
0
.x
3. Nếu
)(xf
liên tục tại
0
x thì
)(xf

liên tục tại
0
.x
4. Nếu
( ), ( )f x g x
liên tục tại
0
x thì
( ) ( )f x g x
liên tục tại
0
.x
5. Nếu
( ), ( )f x g x
liên tục tại
0

g f x g y g f x
 
 

Hệ quả: Cho
: ; :f X Y g Y  
,
0
.x X
Nếu
( )f x
liên tục tại
0
x và
( )g y
liên tục tại
0 0
( )y f x thì hàm hợp
))(( xfg
liên tục tại
0
.x

* Nhận xét: Từ định lí trên, ta có thể chứng tỏ được rằng:
Nếu
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
f x a g x b
 

x x
f x a

0
lim ( )ln ( ) ln .
x x
g x f x b a

 

Vì hàm
x
e
liên tục tại mọi điểm nên
0
( )ln ( ) ln
lim .
g x f x b a b
x x
e e a

 
Ví dụ 1.18: Tính 2
2

x
x
x x
x
x x
   

 
   
   

   
 
 

 
 
 
 
 
 
 

PTIT
Chương 1: Hàm số và giới hạn

26

2
2

 
 
 
 
 
 

 
 
 

(Vì lim
2
2
5
2
5
lim 1
2
x
x
e
x
 


 
 
 


tăng ngặt (giảm ngặt) trên Y.
Định lí 1.14: Nếu hàm số sơ cấp
( )f x
xác định tại
0
x thì liên tục tại
0
.x
Ví dụ 1.19: Xét sự liên tục của hàm số

1
sin 0
( )
0 0
x khi x
f x
x
khi x









Giải:
Dễ thấy f liên tục tại mọi
0.x 


1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng
Định lí 1.15: Nếu hàm số
f
liên tục trên [a,b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa
( )f a
và
( )f b
(nghĩa là nếu

là một số thực nằm giữa
( )f a
và
( )f b
thì
 
,c a b  sao cho
( )f c


). Hệ quả: Giả sử