Chương 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT)

Ta đã biết một phương pháp sơ cấp để
giải hệ pttt (pp Gauss). Chương này sẽ
đưa thêm một phương pháp khác để
khảo sát hệ pttt một cách tổng quát
hơn nhờ vào công cụ ma trận và định
thức.


Các vấn đề định tính và định lượng,
chẳng hạn: Khi nào hệ có nghiệm? Có
bao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợp
nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ được giải
đáp trong chương quan trọng này.
Tât nhiên trong thực hành ta có thể kết
hợp nhiều phương pháp để cho kết
quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!


Trước tiên ta xét hai phương pháp là
phương pháp ma trận và phương
pháp định thức để giải một loại hệ đặc
biệt là: Hệ Cramer
§ 1: Phương pháp ma trận và định
thức
1. Hệ Cramer:




 Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= )


=

=

−
−

=

Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.

≠


2. Phương pháp ma trận.
Một hệ pttt luôn viết được dưới dạng
ma trận: AX = B (1)
Nếu hệ (1) là hệ Cramer thì
( )≠

⟶∃
=

⟺

. Từ đó,

=−
=

Giải:



=

=

−
−

=

≠

 Hệ trên là hệ Cramer nên nó có
nghiệm duy nhất:

=


GABRIEL CRAMER
( 1704 – 1752)

Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại
Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752



=

( ), A - ma trận hệ số


Cột thứ j

=

⋮



Các cột
còn lại
giống hệt
của d

Chứng minh:
Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:
=


⋮

⟶

=



Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer
−
−
+

+
+
+

=
=−
=

Giải:



=

=

−
−

=

≠



+


§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
TỔNG QUÁT
1. Các dạng biểu diễn của hệ phương
trình.
 Dạng khai triển (dạng tổng quát):
Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số
,

,…,

có dạng:


⋯

+
+
⋯
+

⋯

+ ⋯ +
+ ⋯ +
⋯
⋯
⋯




Nhận xét: Hệ có nghiệm ⟺ Cột
= hạng tự do B: cột
số
hạng
tự do.
số
biểu
diễn
tuyến
⋮
tính qua các cột của ma trận hệ
số ×, , … , .

 Dạng véc tơ:

+


+ ⋯+

=

:cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của
ma trận hệ số)


2. Điều kiện có nghiệm


+ Thật vậy, theo định nghĩa về hạng ta
có:

=

,

,…,

= (

,

,…,

; )

+ Vì hệ có nghiệm nên: B bdtt qua
,
⟶

,…,
,

⟶
,…,

=


,

(hệ con ĐLTT có số véc tơ bằng hạng)

,…,
cũng là

cơ sở của hệ véc tơ cột của . Suy ra,
B bdtt qua

,

,…,

⟶


⟶B bdtt qua

,

,…,

lại gán hệ số bằng 0). Như

(mỗi véc tơ còn

vậy, cột số hạng

tự do B bdtt qua các cột của ma trận

=

…
…

=

⋯

⋯

⋯
⋯

≠
⋯ ⋯
⋯

Là một định thức con cơ sở của A.
Do

= , nên D đồng thời cũng là

định thức con cơ sở của . Từ đây suy
ra, r dòng đầu của

là một cơ sở của

hệ véc tơ dòng của nó.