10/13/2012
1
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1. Định nghĩa
Hệ gồm
n
ẩn
(1, ,)
i
xin

và
m
phương trình:

11112211
21122222
1122 nn
nn
mmmnnm
axaxaxb
axaxaxb
axaxaxb


ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
Đặt:
 
111
1
n
ij
mn
mmn
aa
Aa
aa










l
ầ
n lượt là
ma trận hệ số
,
ma trận cột
hệ số
tự do

và
ma trận cột ẩn.
Khi đó, hệ
()
I
trở thành
AXB

.
• Bộ số


1

T
n


hoặc



275.
xxxx
xxx
xx















Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:
1
2
3
4
11244
21403
02705
x
x
x





















và
(1;1;1;1)


là 1 nghiệm của hệ.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương














.
Định lý

Trong trường hợp hệ
AXB

có nghiệm thì:
§

Nếu
():
rAn

kết luận
hệ có nghiệm duy nhất
;
§

tham khảo
)

Cho hệ phương trình tuyến tính
AXB

, với
A
là
ma trận vuông cấp
n
khả nghịch.
Ta có:
1
.
AXBXAB

VD
4
.
Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng
phương pháp ma trận:
21
33
21.
xyz
yz

211101
AA























.
Hệ phương trình
1
XAB




.
Vậy hệ đã cho có nghiệm
3,
6,
1.
x
y
z















ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương

A
aaa
 ,

11
1
11

,1,
n
n
j
nnn
aa
j
ba
b
n
a


(thay cột thứ
j
trong

bởi cột tự do).
b) Phương pháp định thức (



§
Nếu
0,1,
j
jn

thì hệ có vô số nghiệm

(ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp).
§
Nếu
0

và
0,1,
j
jn

thì hệ vô nghiệm.

ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính


211
0134
211


,
1
11
13
1
3
1
12
11




,

ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính


2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
VD 6. Hệ phương trình
(1)2
(1)0
mxym
xmy










có nghiệm khi và chỉ khi:
A.
2
m

; B.
20
mm


phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
•
2:
m

Hệ
0
xy

hệ có vô số nghiệm.
•
0:
m

Hệ
2
0
xy
xy









tuyến tính

AXB

.

• Bước 1. Đưa ma trận mở rộng


AB
về dạng bậc
thang bởi PBĐSC trên dòng.

•

Bước
2
.
Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.

Chú ý
.

Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:

§

có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;
§













Giải
.
Ta có:


2111
0133
2111
AB




















Hệ
213
336
221
xyzx
yzy
zz






















VD
8
.
Giải hệ phương trình tuyến tính:
1234
1234
123
52533
4321
27 =1.
xxxx
xxxx
xxx



























332
3
52533
013527
000

ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
VD 9. Tìm nghiệm của hệ
x451
27112
31161
yz
xyz
xyz














.














.

Hệ
1579
451
421
214
x
xyz
yD
yz
z







2127051015















.
VD 10. Tìm nghiệm của hệ
323
227
xyz
xyz




















¡
.
34
1227
2415
363
cc
m
m


























VD
11
.
Giá trị của tham số
m
để hệ phương trình
tuyến tính
2(7)2
2451
363
xymz
xyz

7
m

.
ØØ
ChươngChương
2. 2.
HệHệ
phươngphương
trìnhtrình
tuyếntuyến
tínhtính
12271227
003219003219
00342100022
mm
mm
mm











