ONTHIONLINE.NET
ONTHIONLINE.NET
1. Giải hệ phương trình :



=+
=−+−
1232
4)(3)(
2
yx
yxyx
Đặt x-y=a ta được pt: a
2
+3a=4 => a=-1;a=-4.
Từ đó ta có



=+
=−+−
1232
4)(3)(
2
yx
yxyx
<=>
*



=++
=++
=++
27
1
111
9
zxyzxy
zyx
zyx
ĐKXĐ :
.0,0,0
≠≠≠
zyx
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
81

x y z xy yz zx
x y z
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
x y y z z x
x y
x y
y z y z x y z
z x
z x
Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thoả mãn hệ phương trình . Vậy
hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
3. Giải hệ phương trình



+−=+−
−+=−
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yxyx
yxyx
( 2) ( 2)( 4)
( 3)(2 7) (2 7)( 3)
2 2 4 8
2 6 7 21 2 7 6 21
4
0
x -2

2
)
y = mx + (m+2) (d
3
)
a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d
3
) luôn đi qua
với mọi giá trị của m.
b. Tìm m để ba đường thẳng (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy .
Giải:
a. (d
3
): y = mx + (m +2 <=> m (x+1)+ (2-y) = 0
Để hàm số luôn qua điểm cố định với mọi m



=−
=+
02
01
y
x



=
=
0
2
y
x
Vậy M (2; 0) .
Nếu (d
3
) đi qua M(2,0) thì M(2,0) là nghiệm (d
3
) Ta
có : 0 = 2m + (m+2) => m= -
3
2
Vậy m = -
3
2
thì (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy
VD3.Giải các hệ phương trỡnh sau
1 1 5
x 5y 7

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4
x 7 5y x 7 5y x 2
21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ =

⇔
 
− − =
− =


= − = − =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− = = =
  
hoặc
x 5y 7 3x 15y 21
3x 2y 4 3x 2y 4
17y 17 y 1
3x 2y 4 x 2

5
1
3
u v
u
u v
8
88
 
=
+ =
=

 
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =

2 2
x y 24
3x 4y 5 0
a) b)
x y 8
2x 5y 12 0
2
9 7 9
m n p 21
2u v 7 n p q 24
c) d)
p q m 23
u 2v 66
q m n 22
+ =

+ − =


 
− + =
+ =



+ + =



− = + + =

3. 4.
5 15
7u 2v 23
2x 5y 10
+ = + = −
 
 
+ = − = −
 

+ =
= −


 
− =


− =

x 6y 17 40x 3y 10
5. 6.
5x y 23 20x 7y 5
− = + =
 
 
+ = − =
 
1 1 4a 5b 10 0
x y 2 0


− + + = − −


− − = − −


( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
x 1 x 2 9y
11.
y 3 y 2 5x
2 2
2
3x y 5
x 2 y 1
12. 13.
2 3
x 3y 1
1
x 2 y 1

− − + =


− − + =

− − = − + =
 
+ + =


− + =


+ − = −

Bài 2. Với giỏ trị nào của tham số m thỡ
a)
x y m 2
3x 5y 2m
+ = +


+ =

cú nghiệm nguyờn.
b)
mx 2y 1
3x y 3
− =


+ =

vụ nghiệm.
Bài 3: Cho hệ phương trình

1
1
2
mx y
x y
− = −



− =


1. Giải hệ phương trình khi m =
3
2
−
2. Tìm m để HPT có nghiệm ( x = -2; y = -2 ).
Bài 6: Cho hệ phương trình
2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
+ = +


+ + =

1. Chứng minh nếu hệ có nghiệm (x; y) thì điểm
M( x; y) luôn luôn thucộc một đường thẳng cố định
khi m thay đổi.


+ + =


+ + =

b)
2 3 11
2 3 2
3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + = −


+ + =

KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; 5 )
Bài 8: Giải hệ phương trình:
2 5
+ = 2
x x + y
3 1
+ = 1,7
x x + y


2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −


+ =

c.
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



+ = −

+

Giải:

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

* Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =

5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ = + = =
  

+ = + =
 
= − =
 
⇔ ⇔
 
+ − = = −
 
x y y
x y x y
y x
x y
Vậy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


= −

c. Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai
cách giải sau đây:
+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y≠ − ≠
.

2 3
1

2
4
1 1
1

=
=


 
⇔ ⇔
 
+ =
 
+ =
+


+

=

 
+ = − = −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= −
  
= =

1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:
2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = = = =
   
1
2
3
1
2
1
1
1


=

Lưu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở
dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bài tập. Giải các hệ phương trình sau:
1,
2 4
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =

;
2 5
3 1

x y
x y
= −


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
− =


− + =

;
5
2
2 6
y
x
x y

− =



− =

3 5
1
x y
x y

+ =


− + = −


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= − +


= −


;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =

x y
x y

− = −


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + − =


+ − − =

( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ − = + −


− + = − +

.
( 1)( 2) ( 1)( 3) 4

5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




− =


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

− =

+ −



− =


− =

− + + −



+ =

− + + −

Bài 2: Cho hệ phương trình
4 3 6
5 8
x y
x ay
− =


− + =

1. Giải phương trình.
2. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm.
4