PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc học
phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học sinh vì học
sinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt công thức
lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhận dạng các phương trình
lượng giác của học sinh còn hạn chế đó là một trong những lí do tôi chọn sáng kiến
kinh nghiệm này.
2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0948028536. E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
Phần I
ĐẶT VẤN ĐỀ
Cơ sở lý luận:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học
tập bộ môn Đại số và giải tích 11.
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
- Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo
khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao).
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

SL
%
06 16,7
03
9,6

Trung Bình
SL
%
17
47,2
16
51,6

Yếu
SL
%
06 16,7
06 19,4

Kém
SL
%
04 11,1
06 19,4

* Nguyên nhân khách quan
- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều.
- Phân phối chương trình Toán 11 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học Toán giảm
nhiều so với chương trình cũ.

NỘI DUNG
A. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN:
 Công thức cộng:
 cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb

 cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb

 sin(a −b) = sina cosb − cosa sinb

 sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

 tan(a − b) =

tana − tanb
1+ tantanb

 tan(a + b) =

tana + tanb
1− tanatanb

 Công thức nhân đôi:
 cos2a = cos2a −sin2a = 2cos2a −1 = 1 − 2sin2a
 tan 2a =

 sin2a = 2sinacosa

2 tan a
1 − tan 2 a


a −b
cos
2
2

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

 cos a − cos b = −2sin

a+b
a −b
sin
2
2
Trang

3


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

 sina + sinb = 2sin

a+b
a −b
cos
2
2

 sina − sinb = 2cos

* /  tan( − x) = cot x
2

* /  cos(

Cung bù: (sin bù)
* /  sin(π − x) = sin x
* /  cos(π − x) = − cos x
* /  tan(π − x) = − tan x * /  cot(π − x) = − cot x
Cung khác π : (khác π tang và côtang)
* /  sin( x ± π ) = − sin x
* /  tan( x ± π ) = tan x

* /  cos( x ± π ) = − cos x
* /  cot( x ± π ) = cot x

a. Phương trình sin x = a
⊕ a > 1 : Phương trình vô nghiệm
⊕ a ≤1
 x = α + k 2π
( k ∈¢)
 x = π − α + k 2π

• sin x = sin α ⇔ 

 x = β 0 + k 3600
( k ∈¢)
• sin x = sin β ⇔ 
0
0


⊕ a > 1 : Phương trình vô nghiệm
⊕ a ≤1

• cosx = cosα ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈ ¢ )
• cosx = cosβ 0 ⇔ x = ± β 0 + k 3600 ( k ∈ ¢ )
• cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k 2π ( k ∈ ¢ )
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

4


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Tổng quát: cosf ( x ) = cosg ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ( k ∈ ¢ )
* Các trường hợp đặc biệt

( k ∈¢)
cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )

⊕ cosx = 1 ⇔ x = k 2π
⊕

⊕ cosx = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2


1
= 0; c)3 tan x − 1 = 0; d ) 3 cot x + 1 = 0
2

Giải
a)

π

x
=
+ k 2π

1
π
6
2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ 
( k ∈¢)
2
6
 x = 5π + k 2π

6

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

5

+ kπ ( k ∈ ¢ )
3
3
3
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2 cos x − sin 2 x = 0 (Phương trình đưa về phương trình
b) cos2 x +

bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)
cos x − sin 2 x = 0 ⇔ cos x − 2sin x cos x = 0 ⇔ cos x ( 1 − 2sin x ) = 0
Giải
π

 x = 2 + kπ

cos x = 0
cos x = 0
π

⇔
⇔
⇔  x = + lπ ( k , l ∈ ¢ )
1

sin x =
6
1 − 2sin x = 0


2
 x = 5π + lπ


6


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Đặt t = cosx , điều kiện t ≤ 1 . Phương trình (2) trở thành:
 −3 + 13
( nhân )
t =
2
2
t + 3t − 1 = 0 ⇔ 
 −3 − 13
( loai )
t =

2
−3 + 13
−3 + 13
−3 + 13
⇔ x = ± arccos
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
Với t =
ta được cosx =
2
2
2

Các câu còn lại giải tương tự

3
π
π
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = + k , ( k ∈ ¢ )
4
2
b)7 tan x − 4 cot x = 12 ( 1)

*) Giải phương trình: cos 2 x = 0 ⇔ 2 x =

Điều kiện: sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0
Khi đó:
1
− 12 = 0 ⇔ 7 tan 2 x − 12 tan x − 4 = 0
tan x
t
=
tan
x
Đặt
, ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t 2 − 4t − 12 = 0

( 1) ⇔ 7 tan x − 4.

Bài tập tương tự
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a) 2 cos x − 3 = 0

b) 3 tan 3 x − 3 = 0



Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

7


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A . 3 cos x + 1 = 0 . B. 3 sin x − 4 = 0 .
C. 3 tan x + 1 = 0 . D. cot x + 2 = 0 .
Câu 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: cos 2 x − 3 cos x + 2 = 0 .
C. x = π + k 2π . D. x = − π + k 2π .
x = k 2π . B. x = kπ .
A.
2
2
Câu3.Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

3 cot(2 x − 30 0 ) − 3 = 0 .

kπ
,k ∈ Z .
2
D. x = 60 0 + k 90 0 , k ∈ Z .

B. x = 30 0 +


A. T = ±

π

+ k 2π , k ∈ Z  .
 3



C. T = ±

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx

asinx + bcosx = c.

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có
dạng a sin x + b cos x = c trong đó a, b, c ∈ ¡ và a 2 + b 2 ≠ 0
C¸ch gi¶i:
Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:
C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho a 2 + b 2 ta được:
a
a 2 + b2

• Nếu
• Nếu

b

sin x +

2

2

⇒ sin α =

a 2 + b2

Đưa phương trình về dạng: sin ( x + α ) =

b
a + b2
2

)
c

a2 + b2

(hoặc cos ( x − α ) =

c
a2 + b2

) sau đó

giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: Phương trình a sin x + b cos x = c trong đó a, b, c ∈ ¡ và a 2 + b 2 ≠ 0 có nghiệm khi
c2 ≤ a2 + b2 .
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

a
+b
= c (c + b)t 2 2at + c b = 0 (2)
2
2
1+ t
1+ t
Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:

. sin x + cos x = 0 x = + k ( k  )
4

. sin x cos x = 0 x = + k (k  ) .
4
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
a 2 + b 2 a sin x + b cos x a 2 + b 2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng
tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng y = a sin x + b cos x ,
a sin x + b cos x
y=
và phơng pháp đánh giá cho một số phơng trình lc sin x + d cos x
ợng giác .
Ví dụ: Giải phơng trình: sin 2 x 3cos 2 x = 3 (1)
Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phơng trình (1) cho 12 + 32 = 10 ta đợc
1
3
3
sin 2 x
cos 2 x =


PHNG PHP GII MT S PHNG TRèNH LNG GIC THNG GP

Cách 2:Ta nhận thấy cos x = 0 là nghiệm của phơng trình

-Với cos x 0 x + k , k  . Đặt t = tan x ,ta có
2
2t
1 t2
sin 2 x =
, cos 2 x =
1+ t2
1+ t2
Phơng trình (1) sẽ có dạng
2t
1 t2
3
= 3 2t 3(1 t 2 ) = 3(1 + t 2 ) t = 3
2
2
1+ t
1+ t
Hay tan x = 3 = tan x = + k , k Â
Vậy phơng trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phơng trình về dạng
sin 2 x = 3(1 + cos 2 x) 2sin x.cos x = 6cos 2 x
cos x = 0
tan x = 3 = tan
(sin x 3cos x)cos x = 0


Chỳ ý: Tựy tng bi cú th t theo lý thuyt nhng cú mt s bi li khụng nờn dp
khuụn quỏ mỏy múc nờn tỡm cỏch gii phự hp i vi tng loi bi .
Bi tp trc nghim:

1
2 ( sin x + cos x ) = cos 2 x l:
2
2

B. + k , k Z C. + k 2 , k Z
3
6

Cõu 1. Cỏc nghim ca phng trỡnh
A.

3
+ k 2 , k Z
2

Cõu 2: Phng trỡnh no sau õy vụ nghim:
A. 3 sin 2 x cos 2 x = 2
C. sin x = cos


4

Gv thc hin: Nguyn Thanh Nhn

D.



6

6
6
6
2

m
Câu 4: Tìm m để pt sin2x + cos2x =
có nghiệm là:
2
A. 1 − 5 ≤ m ≤ 1 + 5 B. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3
C. 1 − 2 ≤ m ≤ 1 + 2
2





6

2

D. 0 ≤ m ≤ 2
Câu 5: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin x là:
2

A. x =

C. m ≤ 0; m ≥

D. m < 0 ; m ≥

4
3

DẠNG 3 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 3. 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx
a (s inx ± cos x) + bsinx .cosx = c

Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có
dạng a(s inx ± cos x) + bsinx .cosx = c
Cách giải
1)
Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
côsin)
• Dạng phương trình:
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c ∈ R) (1)
π

• Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x +  ⇒ t ≤ 2


4

⇒ t = 1 + 2sin x cos x
2


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
⇒ t 2 = 1 − 2sin x cos x
1− t2
⇒ sin x cos x =
(**)
2
1− t2
⇔ at + b.
+c = 0
2
(1)
.
2
⇔ bt − 2at − 2c − b = 0 (2.1)

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0 ≤ 2 .
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a. s inx+sin 2 x + cos3 x = 0
3
2
2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx

b. sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x

c.
d. 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx-sinx ) = 2
Giải
a. s inx+sin x + cos x = 0 .
2



t = 2 − 1
π

 x = α − 4 + k 2π
( k ∈Z)
Do đó : 
 x = 3π − α + k 2π

4
3
sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x
2
b.
(1)
⇔ ( s inx+cosx ) ( 1 − s inxcosx ) − 1 = 3sin xcosx

2
 t 2 −1 
 t 2 −1 
 3 − t 2  2 + 3 ( t − 1)
Đặt : t = s inx+cosx; t ≤ 2 ⇒ ( 1) ⇔ t 1 −
÷= 1 + 3
÷⇔ t 
÷=
2 
2

 2 




2
⇔
⇔
⇔
 

π
π
3−2

 x = α − π + k 2π ∨ x = 3π − α + k 2π
= sin α
sin  x + ÷ =
 2 sin  x + ÷ = 3 − 2

4
4
4
4

2

 
s inx ≠ 0
π
⇒ x ≠ k ( *) . Khi đó phương trình (c)
c. 2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx . Điều kiện : 

)

π
π
π


⇒ t = 2 ⇔ 2 sin  x + ÷ = 2 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇒ x = + k 2π ( k ∈ Z )
4
4
4



Thỏa mãn điều kiện .
s inx ≠ 0
π
⇒ x ≠ k ( *) .
2
cosx ≠ 0

d. 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx-sinx ) = 2 . Điều kiện : 





−
+ s inx-cosx ÷ = 2 + 2sin x 
− 1÷

s inxcosx
cosx

 

( cosx+sinx-sinxcosx )  3 ( cosx-sinx ) − 2  = 0
⇔

÷
cosx
sinx


cosx+sinx-sinxcosx=0
⇔
3 ( cosx-sinx ) = 0

π
4

Trường hợp : cosx-sinx=0 ⇔ tanx=1 ⇒ x= + kπ ( k ∈ Z )
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t = s inx+cosx ↔ t ≤ 2

Đặt : 
Cho nên phương trình :
t2 −1
s inxcosx=

2

π
2 −1

4
⇔ sin  x + ÷ =
= sin α ⇒ 
( k ∈Z)
4
2

 x = 3π − α + k 2π

4

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a ) 3 ( sin x + cos x ) + 2sin 2 x + 3 = 0

b) sin x − cos x + 4sin x cos x + 1 = 0

c) sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0

d ) sin 3 x + cos3 x = 1

Bài tập 2: Giải các phương trình sau :
3
2
d. 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx-sinx ) = 2

b. sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x


Ví duï: Giaûi phöông trình
a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
b. 4sin2x – 3sinxcosx + ( 3 + 4 ) cos2x = 4
c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

(1)
(2)
(3)
Trang

14


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.
GIẢI
2
2
a.(1) ⇔ ( cos x − sin x ) − 3 sin 2 x = 1 ⇔ cos 2 x − 3 sin 2 x = 1

(4)

1
3
1
π
π

π
π
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x = + kπ ; x = + kπ ; k ∈ Z
2
6
5
3
c. (3) ⇔ 5(1 + cos 2 x) − sin 2 x + (1 − cos 2 x) = 3
2
2
⇔ 7 cos 2 x − 5 sin 2 x = −7
d. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x = 1 nghiệm đúng phương trình (2).
π
Vậy (2) có nghiệm x = + kπ .
2
1
= 1 + tan 2 x và đặt ẩn
+Xét cos x ≠ 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay
2
cos x

Ta có : 4t 2 − 3t + 3 + 4 = 4(1 + t 2 ) ⇔ t =

phụ t = tanx :
Ta có : 1 + t + 3t 2 = 3(1 + t 2 ) ⇔ t = 2 ⇔ tan x = 2 ⇔ x = arctan 2 + kπ
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

(



+ĐK: x ≠

(đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT. (vì ± 1 = 0 ; vơ lý)
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

15


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

+cosx ≠ 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
tan x (1 + tan 2 x) = tan x − 1 ⇔ t 3 = −1 ⇔ t = −1 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −

Giải cách 2:
(*) ⇔ sin x(1 − cos 2 x) = − cos 3 x ⇔ sin 3 x = − cos 3 x
tan 3 x = −1 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −

π
+ kπ
4

π
+ kπ (t = tanx)
4

(**)

Và biến đổi : cos 2 2 x = (cos 2 x − sin 2 x) 2 = cos 4 x + sin 4 x − 2 sin 2 x cos 2 x
Thì PT (5) ⇔ sin 2 x cos 2 x + sin x cos x = 0 (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: sin 6 x + cos 6 x = (cos 2 x − sin 2 x) 2 − sin x cos x (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình:
t = 0

5
4
3
2
(Với t = tanx ) t + t + 2t + t + t = 0 ⇔ 

4
3
2
t + t + 2t + t + 1 = 0 (5.1)
1 1
 2 1   1
2
Khi đó PT (5.1) ⇔ t + t + 2 + + 2 = 0 ⇔  t + 2  +  t +  + 2 = 0 (5.2)
t t
t   t

1
PT (5.2) đặt ẩn phụ u = t + thì được PT bậc hai u 2 + u = 0 ⇔ u = 0 ∨ u = −1 .
t

Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
+ Với t = 0 ⇔ tan x = 0 ⇔ x = kπ .

(đẳng cấp bậc 3)
5) Giải phương trình : 3 (sin 3x − cos x) = cos 3x + sin x (đẳng cấp bậc 3)
6) Giải phương trình : 3 (cos 3x + sin x) = sin 3x − cos x
(đẳng cấp bậc 3)
3
3
7) Giaûi phöông trình : sin x + cos x = sinx − cosx
(đẳng cấp bậc 3)
4
4
8) Giaûi phöông trình : 4 (sin x + cos x) + 3 sin 4 x = 2
(đẳng cấp bậc 4)
6
6
9) Giaûi phöông trình : 8( sin x + cos x ) − 3 3 sin 4 x = 2
(đẳng cấp bậc 6)
6
6
2
10) Giaûi phöông trình : sin x + cos x = 2cos x − 1
(đẳng cấp bậc 6)
Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là:
sin 3x
= 0 thuộc đoạn [ 2π ; 4π ] là:
cos x + 1
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6

+
k
π
x
=
+
k
π
x
=
+ kπ




2
4
8
4
A. 
B. 
C. 
D. 
π
π
π
 x = + kπ
 x = + kπ
 x = + kπ
 x = 2π + kπ

x
=
+ kπ

4
A. 
x = π + k π
 12
7

π

x
=
+ kπ

3
B. 
x = π + k π

6
2

π

x
=
+ kπ

5


 A ≥ M ( hay A ≤ M )

A = M
+ Áp dụng tính chất:  B ≥ N ( hay B ≤ N ) ⇔ 
B = N
A + B = M + N

A ≥ M
A = M

+ Áp dụng tính chất:  B ≤ M ⇔ 
B = M
A = B


Bài 1: Giải phương trình sin 3 x + sin 2 x + 2 cos x − 2 = 0
Giải : (1) ⇔ (1 − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x − 1) = 0

(1)

 x = k 2π
cos x = 1
⇔
⇔
 x = kπ
sin x + cos x + sin x cos x − 1 = 0

2


⇔ cos6 x = cos 2 x

⇔ x=k

π
4

(k∈Z)

Trang

18


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a ) cos5 x cos 4 x = cos3 x cos 2 x

b) sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos3 x

c) sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x = 0

d ) tan x + tan 2 x = tan 3 x

Giải tương tự như bài tập 1
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a ) sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x + sin 2 4 x = 2


π
+ k 2π , k ∈ Z B. x = ± + kπ , k ∈ Z C. x = ± + k 2π , k ∈ Z
6
4
3

Câu 2. Phương trình

3
cos 2 x

π
+ kπ , k ∈ Z
2

= 3tan x + 3 có nghiệm là:

π
π
+ k π , x = − + kπ
2
6
π
C. x = kπ , x = + kπ
3
A. x =

D. x =

π


π 2π
,
3 3

Câu 4. Số nghiệm của phương trình

C. −

π π
,
2 4

D. −

π π
,
2 2

sin 3x
= 0 thuộc đoạn [ 2π ; 4π ] là:
cos x + 1
D. 6

A. 2
B. 4
C. 5
Câu 5: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:
A. x = −


DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC –
THPTQG

KD-2002: Tìm x ∈ [ 0;14] nghiệm đúng pt: cos3 x − 4cos2 x + 3cos x − 4 = 0
KB-2002: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x




KA-2002: Tìm nghiệm thuộc ( 0;2π ) của pt: 5  sinx +

cos3x + sin 3 x 
÷ = cos2 x + 3
1 + 2sin 2 x 

x
x π 2
− ÷tan x − cos 2 = 0
2
2 4
2
KB-2003: cotx − t anx + 4sin 2 x =
sin 2 x
cos2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
KA-2003: cotx − 1 =
1 + t anx
2
KD-2004: ( 2cos x − 1) ( 2sinx + cos x ) = sin 2 x − sinx


2 ( cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
2 − 2sinx

=0

2

x
x

KD-2007:  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2
2
2

KB-2007: 2sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

20


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

(

)

(

CĐ-2009: ( 1 + 2sin x ) cos x = 1 + sin x + cos x
2

KD-2009:

3 cos5 x − 2sin 3x.cos 2 x − sin x = 0

(

3
KB-2009: sin x + cos x.sin 2 x + 3 cos3 x = 2 cos 4 x + sin x

KA-2009:

( 1 − 2sin x ) cos x
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )

)

= 3

KD-2010: sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0

KB-2010: ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2cos 2 x − sin x = 0
KA-2010:

( 1 + sin x + cos 2 x ) sin  x +


π



π

KA-2013: 1 + tan x = 2 2 sin  x + ÷
4

KB- 2013: sin 5 x + 2 cos 2 x = 1

KD-2013: sin 3 x + cos 2 x − sin x = 0

π

CĐ – 2013: cos  2 − x ÷+ sin 2 x = 0





KA- 2014 : sinx + 4cosx = 2 + sin2x

THPTQG-2015 Tính giá trị của biểu thức P = ( 1 − 3 cos 2α )( 2 + 3 cos 2α ) biết sin α =

2
3

THPT QG - 2016 Giải phương trình: 2 sin 2 x + 7 sin x − 4 = 0 .
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

Trình độ chuyên môn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và có
phương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình học tập.
10. Kết quả đạt được :
Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương
pháp giải phù hợp. Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tôi thu
được kết quả cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1 36
03
8,3
06 16,7
21
58,3 04 11,1 02
5,6


Trường THPT Triệu TháiĐại số và giải tích
– Vĩnh Phúc

Lập Thạch, ngày tháng
năm 2018
Thủ trưởng đơn vị

Lập Thạch, ngày 25 tháng 10 năm 2018
Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thanh Nhàn

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

23