Tích phân hình học và biến phân nhiều chiều
Khi nghiên cứu một số vấn đề hình học ta cần các công cụ khác nhau để đo
kích cỡ của tập (e.g. độ dài, diện tích, các tích phân vật lý, ... ). Cách xây dựng
kinh điển của Carathéodory cho phép sinh ra rất nhiều độ đo (e.g. độ đo với
số chiều thấp hơn n trong không gian R
n
), phù hợp cho nhiều áp dụng khác
nhau.
Bài này phần đầu nêu cách xây dựng tổng quát của Carathéodory và một số
ví dụ về các độ đo hình học đáng quan tâm. Các ý tưởng chính bắt đầu từ
Hausdorff (1918) và Carathéodory (1914). Sau khi so sánh các độ đo đã nêu,
phần còn lại sẽ nêu một số công thức cần dùng đối với độ đo Hausdorff: công
thức area, công thức co-area, công thức chiếu và công thức Cauchy-Crofton.
Nội dung.
1. Carathéodory’s construction.
2. Các độ đo hình học thông dụng.
3. Quan hệ giữa các độ đo hình học.
4. Một số công thức cần dùng.
Tham khảo.
Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)
Simon L., Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the Centre
Mathematical Analalysis, Australian National University, Vol. 3 (1983)
88
1. Carathéodory’s construction.
Cho F là một họ các tập con trong R
n
(các tập “kiểm tra”).
Cho ζ : F → [0, +∞] (hàm gauge - định cỡ/ đánh giá).
Các độ đo ban đầu φ
δ
, 0 < δ ≤ ∞, được định nghĩa: Với A ⊂ R

δ
(A)
Khi đó ψ được gọi là độ đo được xây dựng từ ζ trên F, còn φ
δ
được xem
như là độ đo xấp xỉ cỡ δ,
Mệnh đề.
(1) φ
δ
, ψ là các độ đo trên R
n
, i.e. các hàm tập, dưới cộng tính.
(2) ψ là độ đo Borel chính qui, i.e. mọi tập Borel là ψ-đo được.
(3) Nếu mọi phần tử của F là tập Borel, thì ψ là độ đo Borel chính qui, i.e.
mọi tập A đều chứa trong một tập Borel
˜
A có cùng độ đo ψ.
(4) Nóichung φ
δ
không là độ đo Borel.
Chứng minh: (1) là rõ ràng.
(2) Theo tiêu chuẩn Carathéodory, để chứng minh các tập Borel là ψ - đo
được, ta cần chứng minh
(C) ψ(A∪ B) ≥ ψ(A) + ψ(B), khi d(A, B) > 0
Dễ thấy φ
δ
(A ∪ B) ≥ φ
δ
(A) + φ
δ

1
2
)
α
Γ(
α
2
+ 1)
(Khi α nguyên c(α) là thể tích hình cầu α - chiều,
có đường kính là 1).
Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, độ đo được xây dựng tương ứng được gọi
là độ đo Hausdorff α - chiều, ký hiệu là H
α
.
• Độ đo cầu (Hausdorff 1918). Với F là họ các cầu mở, và ζ = ζ
1
, độ
đo được xây dựng tương ứng được gọi là độ đo cầu, ký hiệu là S
α
.
Ta có
H
α
≤ S
α
≤ 2
α
H
α
• Độ đo Federer (Federer 1969). Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, ta dùng

) ∧ ··· ∧ (a
m
− b
m
)| ≤

m
i=1
|a
i
− b
i
|, ta có J
m
≤ H
m
.
• Độ đo Gross (Gross 1918). Với mỗi số nguyên 0 ≤ m ≤ n, ký hiệu
O
∗
(n, m) là tập mọi phép chiếu trực giao từ R
n
lên R
m
, và L
m
là độ đo
Lebesgue m - chiều. Định nghĩa hàm định cỡ
ζ
3

n,m
trên O
∗
(n, m). Với mỗi 1 ≤ t ≤ ∞, định nghĩa hàm định cỡ
ζ
4,t
(S) =
1
β
t
(n, m)


O
∗
(n,m)
|L
m
(p(S))|
t
dθ
∗
n,m
p

1/t
,
trong đó



m
t
3. Quan hệ giữa các độ đo hình học.
Mệnh đề. Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, và 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞, ta có mối
quan hệ sau giữa các độ đo
S
m
≥ H
m
≥ J
m
≥ C
m
= Q
m
∞
≥ β
t
(n, m)Q
m
t
≥ β
s
(n, m)Q
m
s
IV IV IV IV
G
m
≥ I

(A
j
)
trong đó H
m
(E
0
) = 0, F
j
: R
m
→ R
n
là Lipschitz, và H
m
(E) < ∞.
Định lý. Nếu E ⊂ R
n
là (H
m
, m) - cầu phương được, thì
H
m
(E) = S
m
(E) = J
m
(E) = G
m
(E) = C

m
là ánh xạ Lipschitz, thì f
khả vi L
n
- hầu khắp nơi và đạo hàm df là hàm đo được.
Chứng minh: Xem [F] 3.1.6. ✷
Ta muốn mở rộng công thức trên cho các số chiều khác nhau và cho các
ánh xạ không là tuyến tính.
• Công thức area.
Trường hợp tuyến tính: Cho λ : R
n
→ R
m
là ánh xạ tuyến tính, với m ≥ n.
Ta xem R
n
= R
n
× O ⊂ R
m
. Khi đó tồn tại g : R
m
→ R
m
∈ O(m), sao cho
g(λ(R
n
)) ⊂ R
n
. Theo công thức trên cho g ◦ λ : R

→ R
m
thuộc C
1
, và n ≤ m. Khi đó với mọi
A ⊂ R
n
là tập đo được và f là 1 − 1 trên A, ta có
H
n
(f(A)) =

A
Jf(x)dH
n
(x)
trong đó Jf(x) =

det df(x)
∗
◦ df(x) (Jacobi suy rộng khi n ≤ m).
Định lý (Fedrerer 1945). Cho f : R
n
→ R
m
là ánh xạ Lipschitz, và n ≤ m.
Khi đó
(1) Với mọi A ⊂ R
n
là tập đo được, ta có