x 2 x 2 x 1 1
P 1:
x x 1 x x 1 x 1

+
= +
ữ
+ + +











+
+











+









+
+
+
+
=
1
1:
1
1
1
22
x
x
xxxxx
x
P
P
1



P
729
53

=
x
P
1
P = 2 x - 1
3819
=
x
347
=
x
1
=
xP
Nguyễn Trần Khánh
Phần I : Một số dạng toán cơ bản
A.Toán rút gọn
Bài 1: Cho biểu thức:
P=
ữ
ữ






+

+


+
+
+








+
=
6
2
2
3
3
2

32
1115
+
+



+
+

=
x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho
2
1
=
P
c) Chứng minh P
3
2
Bài 8 : Cho biểu thức
1- x x x 2 2 1- x
P - :












+
=
xx
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu
x 1=
c) Tìm các giá trị của x để
2
1
=
P
d) Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên
Bài 10 : Cho biểu thức

:
1
1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biết
347
=
x
c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn
xmxP
=
.
Bài 11 : Cho biểu thức
2 x 1 2 x 6 x 5
P 1 : 2
1 9x
3 x 1 3 x 1

+
=
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
xP
=
c) Cho




+

=
22
2
:
1
3
1
3
x
x
xx
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
2
32

=
x
2


4
x
x
x
x
xx
xx
P









+
+








+



1
11
+
+









+

=
xx
x
xxx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá tri của x để
5
12

=
x
P
c) So sánh P với 1
Bài 14 : Cho biểu thức

1
)1)(2(
23
xx
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1
8
11

+

x
P
Bài 15 : Cho biểu thức












Bài 16 : Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 0 c/ Tìm x để P < 1

Bài 17: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
Bài 18 : Cho biểu thức :








+
+
+

+









:
1
1
11
2










+
++
+

+
=
x
xxx
x
xx
x
A




xx
A
6
1
=
A
Nguyễn Trần Khánh
a) Rút gọn A .
b) Tính
A
khi
x 5 2 6= +
Bài 21: Cho biểu thức:










+
+
+

+



b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ?
Bài 22: Cho biểu thức:
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
M
222
1
:
133
++










+


++

1
1
1
1111
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
Q
a) Rút gọn Q .
b) Tìm giá trị của x để Q = 6 .
Bài 24: Cho biểu thức:









+



a
A


+


+
=
1
1
1
1
1
42
3
2
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Bài 26 : Cho biểu thức :
( )










x
xx
P
1
1
.
1
1
:
1
1.
2
a) Rút gọn P.
b) Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x 1
c) Biết
x
x
P
Q
31
+
=
Tìm x để Q có giá trị lớn nhất.
d) Tìm x để
32
>
P
Bài 27 : Cho biểu thức :



33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
1
<
P
c) Tìm x để :
( )
2223.
=+++
xxxP
4
Nguyễn Trần Khánh
d) Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn :

( ) ( )
( )
mxxmxxxP
+=++

P
22
:
22
1
a) Rút gọn P
b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x , y thoả mãn :

6
=+
yx
Bài 29 : Cho biểu thức :
1212
1
.
1
1
2

+
+










xxmxxP
+>++
131.
Bài 30 : Cho biểu thức :










+










+

=
2
2

c ) Tìm m để có x thoả mãn P =
12
+
mxxmx
e) Tìm m để có x thoả mãn:
f) Tìm nghiệm nguyên dơng của pt:
Pmx 2

( )
( )
141
2
2
+=
yyyPxx
B. Hàm số bậc nhất :
Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:
a) a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
c) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng
2y x=
và đi qua điểm B(1;
2 3+
)
d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3)
e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y = x 2
Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng :
y = (k 2)x + m 1 và y = (6 2k)x + 5 2m.
a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau
Bài 3 : Cho hàm số y = (a 1)x + a

) cắt hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của
các điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 6 : Cho hàm số y = (1 2m)x + m + 1 (1)
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm m để hàm số (1) song song với đờng thẳng y = 3x 1 + m
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định
duy nhất. Tìm điểm cố định đó.
Bài 7 : Cho hai đờng thẳng
y = - 4x + m 1 (d1) và y =
4
15 3
3
x m
+
(d
2
)
a) Tìm m để hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại điểm trên trục tung.
b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2

2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của ph-
ơng trình ax
2
= mx + n tức ax
2
- mx n = 0
(1)
a) Nếu phơng trình (1) có > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đờng thẳng cắt Parabol tại
hai điểm phân biệt.
b) Nếu phơng trình (1) có = 0 thì (1) có nghiệm kép, đờng thẳng tiếp xúc với Parabol.
c) Nếu phơng trình (1) có < 0 thì (1) vô nghiệm, đờng thẳng và Parabol không giao
nhau
II.Bài tập
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x
2
(P) và y = 2x + 3 (d)
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d).
b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d).
c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ
giác ABCD.
Bài 2 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng y = 2x m (d)
a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau.
b) Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A và
B với m = - 3 .
c) Tìm toạ độ trung điểm của AB.
Bài 3 : Cho Parabol y = x

2
(P).
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm trên độ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ.
c) Tuỳ theo m hãy xét số giao điểm của đờng thẳng y = mx 1 với (P).
7
Nguyễn Trần Khánh
d) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P).
e) Tìm tập hợp điểm M sao cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau
và cùng tiếp xúc với (P).
f) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng
5
Bài 8: Cho hàm số y = (2m - 1) x
2
(P).
a) Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm đợc.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P)
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm T thuộc (P)
Có tung độ
1
16

.
d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1.
Bài 9: Cho Parabol y = ax
2
và đờng thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1)
a) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đờng thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B.
b) Gọi hoành độ của A,B lần lợt là x

tại điểm N, P. Chứng minh góc NMP nhọn.
Bài 13: Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng y =
1
2
x + 3
a) Xác định toạ độ giao điểm A, B của Parabol và đờng thẳng.
b) Xác định toạ độ giao điểm C thuộc cung AB của Parabol sao cho ABC có diện tích
lớn nhất.
Phơng trình bậc hai một ẩn Hệ thức Vi-et
8
Nguyễn Trần Khánh
Bài 1 : Cho phơng trình (m 1)x
2
4mx + 4m 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1.
Bài 2: Cho phơng trình x
2
2(k 1)x + k 4 (1) . (x là ẩn, k là tham số).

2
+ x
2
2
= 4.
e) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là nghịch đảo của 2 nghiệm phơng trình (1).
Bài 4 : Cho phơng trình x
2
2(m 1)x + 2m 5 = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?
Bài 5 : Cho phơng trình (m 1)x
2
2mx + m + 1 = 0 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 1.
b) Tìm m để tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 6 : Cho phơng trình x
2
+ 2x 5 = 0 . Không giải phơng trình hãy tính :
a) Tổng và tích hai nghiệm của phơng trình.
b) Tổng các bình phơng hai nghiệm của phơng trình
c) Tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phơng trình
d) Tổng các nghịch đảo bình phơng hai nghiệm của phơng trình
e) Tổng các lập phơng hai nghiệm của phơng trình.
D. Hệ phơng trình :
Bài 1 : Cho hệ phơng trình :
( 2)
1

Bài 3: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau khi đi
đợc một giờ với vận tốc dự định, ngời đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đờng còn lại, nên
đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của ngời đi xe đạp.
Bài 4 : Một công nhân đợc giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Sau khi làm đợc một nửa số lợng đợc giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ ngời đó
làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán đợc giao đã đợc ngời công nhân hoàn thành
sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của ngời công nhân đó.
Bài 5 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng
mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vợt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế
hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 6 : Một đoàn xe đợc giao chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì đợc nhận thêm hai xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 0.5 tấn sao với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiêu xe ?
Bài 7 : Một hình chữ nhật có chiều dài bằng
3
2
chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì diện
tích hình chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình ch nhật ban đầu.
Bài 8 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi
với vận tốc dự định, khi còn 40km nữa thì đợc nửa quãng đờng AB do trời ma nên ngời lái xe
giảm vận tốc 10km/h trên quãng đờng còn lại. Do đó ôtô đến tỉnh B muộn hơn một giờ so với
dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 9 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy. Nếu
chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một
mình đầy bể trong bao lâu ?
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở
riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì đợc
2
5
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình
sau bao lâu thì đầy bể ?

hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ ngời đó làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa. Tính số lợng sản
phẩm đợc giao.
Bài 20: Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu ngời thứ
nhất làm một nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành
toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi ngời làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong
mấy ngày.
Bài 21: Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau đó 1giờ 30 phút, một
chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp nhau khi
chúng đã đi đợc một nửa quãng đờng AB. Tính quãng đờng AB.
Bài 22: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhng số ngời đến họp là 144 ngời. Do đó, ngời ta phải
kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 ngời ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có bao nhiêu
dãy ghế.
Bài 23: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình ph-
ơng các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng
thêm 5.
Bài 24: Lớp 9A có 14 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn, số học sinh vừa giỏi toán vừa
giỏi văn bằng nửa số học sinh không giỏi toán mà cũng không giỏi văn. Hỏi có bao nhiêu học
sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn, biết rằng sĩ số của lớp 9A là 35.
11
Nguyễn Trần Khánh
Bài 25 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngợc dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận
tốc ngợc dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 1 giờ Tính vận
tốc xuôi dòng và vận tốc ngợc dòng của ca nô.
Bài 26 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng 105km.
Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngợc dòng
42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngợc dòng của ca nô, biết vận tốc nớc và
vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 27 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng 105km.
Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngợc dòng
42km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vân tốc của dòng nớc, biết vận tốc nớc là và vận tốc