MỤC LỤC
PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ......................................................................................1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI..................................................................................2
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.........................................................................2
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU........................................................................3
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU......................................................................3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.................................................................3
VI. PHẠM VI NGHIÊN CỨU...........................................................................4
VII. GIỚI HẠN ĐỀTÀI.....................................................................................4
PHẦN B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ........................................................................5
I. THỰC TRẠNG...............................................................................................5
1. Thuận lợi.....................................................................................................5
2. Khó khăn.....................................................................................................5
3. Số liệu thống kê ban đầu.............................................................................5
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ................................................................................6
1. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng....................................6
2. Biện pháp thực hiện....................................................................................8
3. Một số bài tập áp dụng..............................................................................18
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC............................................................................19
PHẦN C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.....................................................20
I. KẾT LUẬN..................................................................................................20
II. ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ......................................................21
III. KHUYẾN NGHỊ........................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong tất cả các môn học nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông
nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng,

- Nghiên cứu nội dung dạy học, lý thuyết cũng như các bài tập áp dụng về chứng
minh ba điểm thẳng hàng trong sách giáo khoa, sách giáo viên và sách nâng cao
toán.
- Nghiên cứu những ứng dụng của việc chứng minh ba điểm thẳng hàng trong
việc giải các bài toán có liên quan để thấy được tầm quan trọng của nội dung
này.
- Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập để thấy được sự nắm bắt của
học sinh. Qua đó nhận ra những tồn tại, những sai lầm và những thiếu sót mà
học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Từ đó tìm ra những giải pháp phù hợp nâng cao chất lượng giảng dạy.
- Tìm hiểu kĩ đối tượng học sinh (qua khảo sát và thông qua giáo viên chủ
nhiệm) nhằm phân loại đối tượng học sinh để có biện pháp giảng dạy phù hợp.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học
sinh lớp 7.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu qua các tài liệu về phương pháp dạy học hình học nói chung và
hình học 7 nói riêng.
- Nghiên cứu và hệ thống hóa các kiến thức về chứng minh ba điểm thẳng hàng
trong chương trình hình học 7.
* Phương pháp thực nghiệm: Nghiên cứu qua các tiết dạy trên lớp, qua việc thực
hành giải toán của học sinh và qua khảo sát.
* Phương pháp tư vấn: Dự giờ, trao đổi chuyên môn, tham khảo ý kiến các đồng
nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài.


VI. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 7A3 và 7A7.
- Nghiên cứu và thực hiện đề tài trong năm học 2018 - 2019.


45

Điểm dưới 5

Điểm 5 – 7

Điểm 8 - 10

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

23

51,1

16

35,6

6

Trong năm học 2018 – 2019 tôi nghiên cứu và đưa vào giảng dạy một cách hệ
thống cho học sinh các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng ứng với
từng nội dung bài học trong SGK. Mong rằng những giải pháp thiết thực này sẽ
giúp các em có kỹ năng chứng minh ba điểm thằng hàng một cách tốt hơn và
linh hoạt hơn.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng
hàng
 A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp 2: Dựa vào tiên đề Ơclit
Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng song song với 1 đường
thẳng cho trước
�
MA / / xy
�
�
�
MB / / xy
�

 A, M, B thẳng hàng (Tiên đề Ơclit).
Phương pháp 3: Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng
vuông góc với 1 đường thẳng cho trước


�
AH ^ xy
�
�

BE là đường cao của ABC
 B, H, E thẳng hàng.
Phương pháp 9: Áp dụng đường trung trực của tam giác phải đi qua giao điểm
chung của chúng
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AB và AC
MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC
 O, M, N thẳng hàng.
Phương pháp 10: Chứng minh hai tia OA và OB cùng nằm trên một nửa mặt
phẳng bờ chứa tia Ox,
 O, A, B thẳng hàng.
2. Biện pháp thực hiện
Để giúp các em có sự định hướng tốt trong khi tìm tòi cách giải, tôi nghĩ
chúng ta có thể giúp các em làm quen với bài toán “chứng minh ba điểm thẳng
hàng” ngay từ đầu chương trình toán 7 bằng cách chúng ta vẫn dạy theo đúng
nội dung bài học, nhưng trong các tiết luyện tập, chúng ta chọn những bài tập
nhỏ, đơn giản, dễ nhìn, những bài tập này vừa vận dụng kiến thức đã học vừa
giúp chúng ta giới thiệu cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, mỗi lần một ít –
dần dần học sinh sẽ quen và khi gặp những bài toán tổng hợp, phức tạp, học sinh
có thể tự tìm được hướng đi và từ đó giải quyết được yêu cầu của đề bài.
 Ngay từ bài 1: “ Hai góc đối đỉnh”, ta có thể lồng vào bài toán yếu tố
“chứng minh 3 điểm thẳng hàng” như sau:
Bài toán 1: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ
tia OB sao cho . Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho = 90. Gọi OB’ là
tia phân giác của .
a) Chứng minh B, O, B’ thẳng hàng.
b) Chứng minh và là cặp góc đối đỉnh. So sánh và .
�
Giải: a) A, O, A’ thẳng hàng  AOA’ = 180�



= 2.( + ) = 2. = 2. 900 = 1800
Vậy 3 điểm M, O, N thẳng hàng.
Trong bài tập này, học sinh được luyện tập về tia phân giác 1 góc; tính số đo
góc, vẽ góc vuông và qua đó, các em chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào
phương pháp 1.
 Bài: “ Hai đường thẳng song song”, ta chọn bài tập sau:
Bài toán 3: Cho 2 góc và kề bù (theo hình vẽ). Vẽ tia MC sao cho 2
góc , so le trong và bằng nhau. Vẽ tia MD sao cho 2 góc , so le trong và bằng
nhau. Chứng minh: C, M, D thẳng hàng.


Giải: Vì và là cặp góc so le trong bằng nhau
 MC // OA  MC // AB (do B, O, A thẳng hàng)
và là cặp góc so le trong bằng nhau
 MD // OB  MD // AB (do B, O, A thẳng hàng)
Ta có: MC // AB (cmt) và MD // AB (cmt)
 C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit).
Trong bài toán này, học sinh luyện tập chứng minh 2 đường thẳng song song
và qua đó biết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 2.
 Bài: “Định lý”, học sinh làm bài trắc nghiệm sau:
Bài toán 4: Điền vào chỗ chấm (…) sao cho thích hợp:
a) Nếu đường thẳng AB và CD cùng song song với đường thẳng xy thì
AB // CD
b) Nếu 2 đường thẳng AB và AC cùng song song với đường thẳng xy thì
A, B, C, thẳng hàng
c) Nếu 2 đường thẳng EF và HK cùng vuông góc với đường thẳng xy thì
EF // HK
d) Nếu 2 đường thẳng EF và EH cùng vuông góc với đường thẳng xy thì
E, F, H thẳng hàng


Giải: Xét AID và BIM có:
AD = BM (gt)
IA = IB ( I là trung điểm của AB)
= ( 2 góc so le trong – AD // BM)
�

�

 AID = BIM (c.g.c)  I1 = I 2 (2 góc tương ứng)
�
�
= + I 2 = + I1 = = 1800 ( vì A, I, B thẳng hàng)

Vậy D, I, M thẳng hàng.
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau
(c.g.c) và qua đó ôn lại cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương
pháp 1. Bài toán này trong khi chứng minh  AID =  BIM học sinh rất dễ ngộ
�

�

nhận I1 = I 2 (hai góc đối đỉnh), giáo viên cần chỉ ra cho học sinh là hai góc đó
chưa đối đỉnh vì 3 điểm M, I, D chưa thẳng hàng.
Bài toán 7: Cho  ABC, gọi D và E lần lượt là trung điểm AC, AB. Trên tia đối
của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm N
sao cho EN = EC. Chứng minh: A, M, N thẳng hàng.
Giải:   ADM =  CDB (c.g.c)


 =

�
�
Vậy  DAB =  CBM (c.g.c). Suy ra ABD  BMC . Do đó BD // CM. (1)

Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Trong các bài toán 7 và 8, học sinh vẫn được
luyện tập chứng minh 2 tam giác bằng nhau
(c.g.c), chứng minh 2 đường thẳng song song và
cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào
phương pháp 2 – Tiên đề Ơclit).


Bài toán 9: Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy
điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy
điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH  BC (H  BC).
Trên DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh:
A, H, K thẳng hàng.
Giải:
  ABC =  ADE (c.g.c)  =

K

E

D

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong  ED // BC
A


Mà AMB  BMC  180 (kề bù) nên BMC  CMD  180 � BMD = 180�

Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau
(c.g.c) và chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 1 – góc bẹt).
 Bài “Tam giác cân”, ta chọn bài toán sau:


Bài toán 11: Cho  ABC có = 60. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều
ABM và CAN. Chứng minh rằng:
a) 3 điểm M, A, N thẳng hàng;
b) BN = CM.
Giải: a) Vì ABM và CAN đều
,
N
= + + = .3 =
Vậy M, A, N thẳng hàng.

A
M

600

b) ABN = AMC(c.g.c)  BN = CM ( 2 cạnh tương ứng) (đpcm)
C
Trong bài toán này, học sinh được củng cố kiếnBthức về tam giác đều, chứng
minh hai tam giác bằng nhau (c.g.c) và chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào
phương pháp 1.

Bài toán 12: Cho  ABC vuông cân tại A. Vẽ ra ngoài ABC tam giác cân

1
KD = IK = AI = 3 AD

Suy ra: K là trọng tâm ABC.
Mà BE, CF là đường trung tuyến của ABC nên BE, CF đi qua trọng tâm K.
Vậy B, K, E thẳng hàng; C, K, F thẳng hàng.
Bài toán 14: Cho ABC vuông tại A, có BC = 10cm, AC = 8cm. Lấy điểm M
trên AB sao cho BM = 4cm. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N là
trung điểm BD. Chứng minh: ba điểm C, M, N thẳng hàng.
Giải: Học sinh tính được AB = 6cm (áp dụng định lý Py-ta-go)
B

DBC có BA là trung tuyến
MB
4 2
2
và BA = 6 = 3  BM = 3 BA

4

N

M
D

C

A

Vậy M là trọng tâm của DBC


DE  AB; DF  AC (gt)
DE = DF (cmt)
Suy ra: D thuộc tia phân giác của (1)
Ta c/m IH = IK. Dễ thấy HCB= KBC (cạnh huyền
– góc nhọn)
suy ra � ICB cân tại I nên IB = IC.
� KBI= HCI (cạnh huyền – góc nhọn) � IK = IH

Vì IK  AB, IH  AC (do CK // DE, DE  AB;
BH // DF, DF  AC).
IK = IH
Suy ra: I thuộc tia phân giác của (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, D, I thẳng hàng.
Trong bài toán trên, học sinh luyện tập về “Tính chất tia phân giác của 1
góc” và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4.
 Bài: “Tính chất 3 đường phân giác của tam giác”
Bài toán 16: Cho  ABC cân tại A. Vẽ phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Gọi
M là trung điểm BC. Chứng minh: A, I, M thẳng hàng.
Giải: ABC có phân giác của B và C cắt nhau tại I
I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác.
 ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến
nên AM cũng là đường phân giác của ABC
Đường phân giác AM phải đi qua giao điểm I. Vậy A, I, M thẳng hàng.
Bài toán 17: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I.
Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh
ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải:
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A
nên K cách đều hai cạnh Ax và AC (1)

E
B

C

Trong bài toán trên, học sinh luyện tập về tính chất đường trung trực của một
đoạn thẳng và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 5.
 Bài : “Tính chất 3 đường trung trực của tam giác”, ta chọn bài toán sau:
Bài toán 16: Cho  ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Đường trung trực của
AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh: A, M, D thẳng hàng.
Giải:
AB = AC (gt)

A

MB = MC (M là trung điểm BC)
Suy ra: AM là đường trung trực của đoạn BC

(1)
D

 ABC có đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D
Suy ra: D là giao điểm 3 đường trung trực trong  ABC

B

M

C


2

2
3
Từ (1) và (2) suy ra 1 4
Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC)

A

1

C

K

0
� � � �
0
0
�
�
Mà DIA  90 suy ra IDK  90 � D1  D4  D2  D3  90
0
�
� � � �
� BDC  D1  D2  D3  D4  180 . Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Trong bài toán trên, học sinh vừa được áp dụng tính chất của đường trung
trực của một đoạn thẳng, vừa chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương
pháp 1 (góc bẹt).

giản, những bài tập chủ yếu vận dụng kiến thức đã học để qua đó giới thiệu
cách chứng minh ba điểm thẳng hàng. Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần
phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh
những lập luận sai hoặc lập luận quanh co dẫn đến những sai lầm đáng tiếc.
3. Một số bài tập áp dụng
Từ thực tế kinh nghiệm giảng dạy cho tôi thấy ngoài việc giúp và yêu cầu
học sinh nhớ các kiến thức liên quan một cách hệ thống, tôi còn chú trọng vào
các giải pháp: phân loại thành từng dạng bài tập, chú trọng rèn luyện kỹ năng
vận dụng thông qua các ví dụ và các bài tập áp dụng, chỉ ra những sai lầm
thường gặp nhằm khắc phục những thiếu sót trong quá trình giải toán. Sau đây là
một số bài tập áp dụng cho các phương pháp điển hình trong việc chứng minh 3
điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 7.
Bài 1: Cho ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia
đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BE và CD. Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
�

Bài 2: Cho ABC vuông ở A có ABC  60 . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở
phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối
của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
0

Bài 3: Cho ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc
đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối
�

�



Điểm dưới 5

Điểm 5 – 7

Điểm 8 - 10

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

7A3

45

4

8,9

25

55,6

Nội dung chứng minh ba điểm thẳng hàng là một kiến thức rộng và sâu,
tương đối khó đối với học sinh. Vì vậy đòi hỏi người học phải có đầy đủ kiến
thức, phải có đầu óc phân tích, tổng hợp. Đây là một tiền đề giúp học sinh có
khả năng tích hợp các kiến thức cũ để phát hiện kiến thức mới.
Qua quá trình vận dụng chuyên đề này bản thân tôi nhận thấy còn có một số
khó khăn sau:
- Khả năng tư duy sáng tạo của một số học sinh còn hạn chế.
- Đòi hỏi người dạy phải linh hoạt trong việc sắp xếp bố trí thời gian trong
quá trình giảng dạy trên lớp.
- Đây là kiến thức mới và khó nên học sinh dễ rơi vào tình trạng e ngại hoặc
mất tự tin khi gặp dạng toán này. Có lẽ đây là khó khăn mà giáo viên cần phải
khéo léo tháo gỡ.
Qua quá trình giảng dạy, qua việc nghiên cứu các phương án giúp học sinh
chứng minh ba điểm thẳng hàng, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm sau:
* Đối với giáo viên:
- Muốn áp dụng được đề tài này, người thầy phải thường xuyên trau dồi kiến
thức cả về chuyên môn lẫn nghiệp vụ, phải thường xuyên dự giờ thăm lớp, rút
kinh nghiệm từ phía đồng nghiệp. Thường xuyên nắm bắt được tâm sinh lý của
từng đối tượng học sinh, phải hiểu được khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó
tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
- Thông qua các phương pháp trên thì giáo viên cần có sự uốn nắn sai sót mà
học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt. Đặc
biệt chú ý đến đối tượng học sinh yếu thông qua việc bố trí các buổi học phụ
đạo để giúp các em nắm được bài.
- Giáo viên phải có sự chuẩn bị kỹ càng, chu đáo về kiến thức, kế hoạch
cũng như phương tiện dạy học. Giúp cho người học có cảm giác nhẹ nhàng
nhưng cũng không kém phần sôi nổi, tạo hứng thú và niềm say mê học tập cho
các em.
* Đối với học sinh:
- Bản thân học sinh phải tích cực trau dồi kiến thức thông qua tự học, tự rèn,