MỤC LỤC
Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU
02
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................................................ 02
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..................................................................................... 02
3. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................................... 02
4. Giả thuyết khoa học của đề tài............................................................................................ 03
5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................................ 03
6. Dự báo những đóng góp của đề tài................................................................................... 03
7. Kết cấu của đề tài....................................................................................................................... 04
B. PHẦN NỘI DUNG
04
I. Cơ sở lý thuyết............................................................................................................................. 04
II. Quy trình giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
04
nhau a và b
......................................................................................
1. Các bước giải................................................................................................................................ 04
2. Phương pháp giải........................................................................................................................ 04
3. Nhận xét.......................................................................................................................................... 07
III. Các bài toán minh hoạ.......................................................................................................... 08
1. Các bài toán giải bằng phương pháp tính trực tiếp................................................... 08
2. Các bài toán giải bằng phương pháp tính gián tiếp.................................................. 12
IV. Một số bài tập vận dụng....................................................................................................... 19
V. Thực nghiệm sư phạm............................................................................................................. 20
1. Mục đích thực nghiệm............................................................................................................. 20
2. Nội dung thực nghiệm............................................................................................................. 20
3. Kết quả thực nghiệm................................................................................................................ 20
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
21

giải toán hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau nói riêng.
3. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên
cứu: a). Mục tiêu nghiên cứu:
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho học sinh lớp 11 nói riêng, học
2


sinh trung học phổ thông nói chung nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy
học môn toán ở trường phổ thông.
b). Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:
+ Xác định căn cứ lý luận thực tiễn của các phương pháp giải bài toán tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+ Xây dựng phương pháp giải và hệ thống bài tập điển hình của bài toán
tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau đối với học sinh lớp 11.
4. Giả thuyết khoa học của đề tài:
Đề tài hướng đến giả thuyết khoa học: Với việc làm rõ quy trình, các
phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và trên cơ sở hệ
thống bài tập phù hợp, có định hướng rõ ràng sẽ giúp học sinh nâng cao kĩ năng
giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nói riêng và các
kĩ năng giải toán hình học không gian nói chung.
5. Phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa và các tài liệu có liên
quan đến hình học không gian, đến bài toán tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau trong chương trình toán trung học phổ thông.
+ Nghiên cứu thực tiễn: Qua thực tiễn dạy học phần hình học không gian
đối với học sinh lớp 11, lớp 12 và qua các đề thi HSG và các đề thi Đại học-Cao
đẳng(trước đây) và các đề thi THPTQG những năm gần đây, tôi thấy việc rèn

a. Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
b. Nhận xét: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng
cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa
đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
II. QUY TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a VÀ b.
1. Các bước giải:
- Bước 1: Xác định khoảng cách (định tính).
- Bước 2: Tính khoảng cách đó (định lượng).
2. Phương pháp giải:
a) Phương pháp 1: Tính trực tiếp. Xác định đoạn vuông góc chung rồi tính.

4


Để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b, có
các cách sau:
* Cách 1: - Dựng mặt phẳng (P) chứa a và (P) // b

x

- Dựng b’ là hình chiếu của b trên (P). Gọi A = a b’. -

b

B


H

P

Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
* Trong trường hợp a b thì cách 2 được thực hiện đơn giản hơn như
sau:
a

- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và a tại A.
- Dựng AB b tại B.

b

Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a, b.
A
P

B

* Đặc biệt, trong một số trường hợp ta có thể dùng bổ đề (về tứ diện có
2 cặp cạnh đối bằng nhau): Tứ diện có hai cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ
khi đường vuông góc chung của cặp cạnh đối còn lại là đường thẳng nối trung
điểm của hai cạnh đó.
5


Chứng minh bổ đề:
+ Giả sử tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của BC, AD. Ta có: ABD = CAD (c.c.c).

BD2

AC

2

2
CD 2

4
BC 2

2

Từ (1), (2)

2

BC

4
AB2
AB2

JB2

;

;



2

AD

2

4
AD2

( 2)

4

AC = BD.

b. Phương pháp 2: Tính gián tiếp.
Tính qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song (hoặc
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song). Từ đó qui về khoảng cách từ 1 điểm
đến 1 mặt phẳng.
+ Tìm mặt phẳng (P) chứa b và (P) song song với a.
+ Chọn điểm M nào đó trên a sao cho dễ dàng xác định khoảng cách từ M
đến (P).
+ d (a; b) = d (a; (P)) = d (M; (P)).
+ Tính d (M; (P)).
3. Nhận xét: 1) Trong hai phương pháp trên, phương pháp tính trực tiếp
khó hơn và ít được sử dụng hơn. Thông thường ta chỉ dùng phương pháp này khi
hai đường thẳng chéo nhau đó vuông góc với nhau, hoặc vận dụng được tính
chất của tứ diện có 2 cặp cạnh đối bằng nhau. Phương pháp tính gián tiếp được
sử dụng rộng rãi, đa dạng vì nó đơn giản, dễ xác định và gần gũi với học sinh.


K

Khi đó d (M; (P)) = MH.
- Giả sử có đường thẳng MN cắt (P)
tại I và MI k thì d (M; (P)) = k.d (N; (P)).

H

P

IN

Như vậy, trong trường hợp này, thay
cho việc tính d (M; (P)), ta có thể tính d (N; (P)).

7

I

N


- Dùng tính chất của tứ diện vuông.
Nếu O. ABC là tứ diện vuông đỉnh O (OA AB; OB OC; OC OA) thì đường
cao OH của tứ diện O. ABC được tính theo công thức:
1
OH 2

1


a.

* Phân tích tìm hướng giải:
- Dựa vào tính chất hình vuông, ta có DM CN DM (SNC) và DM SC. Ta
nên chọn phương pháp 1: Xác định đoạn vuông góc chung rồi tính.
- Mặt phẳng chứa SC và vuông góc với DM là (SCN). Trong SHC, kẻ
đường cao HK thì HK là đoạn vuông góc chung của SC, DM.
- Tính HK dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông SHC.
* Lời giải: - Xác định:
Ta có: ADM = DCN (c.g.c)
8


ADM = DCN DM CN. Mà DM
SH nên DM (SCN) Hạ HK SC (K
SC) HK là đoạn vuông góc chung
của DM và SC. Do đó d (DM, SC)
= HK.
-

Tính:
CD

2

2a

HC


AA1, B1C1 theo a.
* Lời giải: - Xác định:
Góc giữa AA1 và (A1B1C1) là AA1H = 300.
a 3

A1H = AA1sin600 = 2 . Mà A1B1C1
đều cạnh a nên H là trung điểm của B1C1.
Từ đó B1C1

A1H và B1C1

AH

nên B1C1 AA1.
Kẻ đường cao HK của AA1H thì d (AA1, B1C1) = HK.
a 3

- Tính: Từ HK.AA1 = AH. A1H

a 3

HK = 4 .Vậy d (AA1, B1C1) = 4
* Lời bình: Nhờ tính được A1H, ta đã xác định được vị trí của H trên B 1C1.

Từ đó suy ra B1C1 (AHA1). Do đó B1C1 AA1 và việc xác định đường vuông góc
chung giữa AA1 và B1C1 trở nên đơn giản.
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B; BC song song với AD, cạnh bên SA vuông góc với đáy; AB = BC = a; AD =
2a; SA = a



9

2a
3


b) - Xác định: Ta có SA= CD =

a 2

Trong SAC: SC2 = AC2 + SA2 = 4a2
SC = 2a = AD
Xét tứ diện SACD có: SA = CD; SC = AD.
Vậy đường vuông góc chung của SD và AC
là đoạn thẳng IJ nối trung điểm của mỗi cạnh.
- Tính: Trong SAI: SI =
Trong SIJ: IJ =

SI2 SJ2

SA2

AI 2
10a2
4

2a2

a2

1 ED'
2

1 . 2 BD'
2 3

a 3
3

* Lời bình: - Đây là ví dụ tiêu biểu cho việc xác định đường vuông góc
chung của 2 đường thẳng chéo nhau trong trường hợp tổng quát
- Do dùng được tính chất của hình lập phương: BD’ (ACB’) nên khi kẻ O’H
// BD’, ta có O’H B’O và việc tính toán JK được dễ dàng hơn.

10


Bài 5. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2a; C là điểm bất kỳ thuộc
(C) (C A, C B), S là điểm trong không gian sao cho SA vuông góc với mặt
phẳng chứa đường tròn (C) và SA = a

3.

a) Xác định đường vuông góc chung của AC và SB.
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và SB. Hãy xác định vị trí điểm C
trên đường tròn để IJ là đường vuông góc chung của AC và SB. Khi đó, tính
khoảng cách giữa AC và SB.
* Lời giải: a) Gọi D là điểm xuyên tâm đối của C.
Ta có ADB = 900
BD // AC và AC AD

3.

a
- Tính: Khi đó, dễ dàng tính được AC = a AI = 2
SB

a 7

AJ

a 7
2

AJ 2

IJ

AI 2

a 6
2

* Lời bình: - Ở câu a, hai đường thẳng chéo nhau AC và SB không vuông
góc với nhau. Ta đã tạo ra mặt phẳng (SAD) AC rồi làm theo các bước dựng (ở
cách 2-phương pháp 1), ta được đường vuông góc chung của AC và SB là MN.
- Ở câu b, việc vận dụng tính chất của tứ diện có 2 cặp cạnh đối bằng nhau
cho ta cách giải thật nhanh và đơn giản.

2. Các bài toán giải bằng phương pháp tính gián tiếp.
Trong các bài toán dưới đây, dễ dàng nhận ra hai đường thẳng chéo nhau

Vậy d (AB; SC) = d (I; (SCD)) = SI

a 3

2

Bài 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
3 a

BAD=600; SO (ABCD) và SO= 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD và SB.
* Phân tích tìm hướng giải:- Sẵn có mp (SBC) chứa SB và // AD.
- SO đáy (ABCD). Nhờ AC = 2.OC nên khoảng cách từ A đến mp (SBC)
qui được về khoảng cách từ O (chân đường vuông góc) đến mặt bên SBC.
- Tứ diện OSBC vuông đỉnh O nên tính được ngay d (O; (SBC)).
*

Lời giải: Từ giả thiết ta có: OB

a
a 3
2 ; OC
2

- Xác định: Vì AD//(SBC)
nên d (AD; SB)=d (AD; (SBC))=d (A; (SBC)).
CA

Do CO


3a 2

64
9 a2

3 a
3 a
8 . Vậy d(AD; SB) = 2.h 4

Bài 8. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CB

a; CA

;
cạnh SA

a 2 và

SA

(ABC). Gọi D là trung điểm của cạnh AB.

Tính: a) Khoảng cách giữa AC và SD.
b) Khoảng cách giữa BC và SD.
a) * Phân tích tìm hướng giải:- Với hai đường thẳng AC, SD, không sẵn
có mặt phẳng nào chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- Do SA đáy (ABC), ta tạo ra mặt bên chứa SD và // AC bằng cách kẻ Dy //
AC. - d (AC; SD) qui về khoảng cách từ A (chân đường vuông góc) tới mặt
bên (SD; Dy). * Lời giải:- Xác định: Kẻ Ax / /BC; Dy / /AC.
13

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BC theo a.
600

* Lời giải: Ta có: SCH là góc giữa SC và (ABC) SCH =

- Xác định: Kẻ Ax // BC. Gọi N, K lần
lượt là hình chiếu của H trên Ax, SN.
3

Vì BC//(SAN) và BA 2 HA
nên

3

d (SA, BC) = d(B; (SAN)) = 2 d (H ;

(SAN ))

14


d (AC;SD) = d (AC; (SDE)) = d (A; (SDE))
Dễ thấy DE

(SAE) nên (SDE) (SAE)

Kẻ đường cao AH của tam giác vuông SAE
thì AH (SDE) d (AC; SD) = AH


(SHN) nên Ax

HK. Do đó HK

- Tính: Dễ dàng tính được HC
AH

0

2a , HN AH sin 60
3

Vậy d (SA, BC) =

a 42

3

(SAN)

d (SA; BC) = 2 HK

a 7
3 ; SH HC tan 600

a 3 , HK
9

SH.HN

Từ giả thiết ta có SA

(ABC); SBA = 600

nên SA AB tan 600 2a 3; AM MN a .
Kẻ đường thẳng Nx // AB; Ay // BC.
Gọi I = Ay Nx

x

d (AB; SN) = d (AB; (SNI))= d (A;
SNI)) Kẻ AH SI (H SI) AH (SNI)
(do IN (SAI) nên AH IN) d (A; (SNI) = AH
- Tính: Trong SAI:

1

1

2

2

AH

Vậy d (AB; SN) =

SA

1

15


Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a;
AD=2a; Cạnh SA (ABCD), cạnh SB tạo với đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy
a 3

điểm M với AM
3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC.
* Phân tích tìm hướng giải:
- Dễ dàng tạo ra mặt phẳng chứa BM và // SC bằng cách kẻ MN // SC (N AC).

- Khoảng cách d (SC; (BMN)) qui về khoảng cách từ A (chân đường vuông
góc) tới mặt bên (BMN) nhờ tỉ số

MS
MA .

- Kéo dài BN cắt AD tại I, ta có d (A; (BMN)) = d (A; (BMI)). Khoảng
cách này dễ dàng tính được nhờ tính chất của tứ diện vuông đỉnh A: ABMI.
* Lời giải: - Xác định:Kẻ MN // SC (N AC) SC // (BMN). Gọi
I = BN AD
Ta có: d (BM; SC) = d (SC; (BMN))
= d (S; (BMN)) = 2.d (A; (BMI) (do MS = 2.MA).
-

AI

Tính: BC



- Tính: Vì tứ diện B.AME vuông tại B nên ta có:
1

h

1
2 BA 2

1
BE 2

1
BM

2

a

7

2

h

a 7
7

a 7



2

h

1
2
OA

1
2
OC

1
2
OP

64 h

a 3 . Vậy d
8

2

3a

(B’M; CN) = a

3
4

NK

NA

KD

1
AA' 2

1
2 d A; ( A' DP)

- Tính: Tứ diện A.A’DP vuông tại
A nên đặt d (A; (A’DP) = h, ta có:
h

1
2 AA

1

2

1
AD 2

AP

1


d (D; (MAC)) dễ dàng tính được nhờ tính chất của tứ diện vuông D. MAC.
* Lời giải: - Xác định: Gọi O=AC BD
Từ giả thiết ta có SO (ABCD);
SD

O

600 ; SO OD tan 600

a
3

Gọi M là trung điểm SD.
Ta có: SB // OM SB // (MAC)
d (SB; AC) = d (SB; (MAC))
= d (B; (MAC)) = d (D; (MAC) )
Kẻ DE//SO và DE = SO.
Ta có SODE là hình chữ nhật nên O, M, E thẳng hàng.
18

x


- Tính: Tứ diện D.EAC vuông tại D nên đặt h = d (D; (EAC))= d (D; (MAC)) thì:
1
2

h

1


thẳng MN và AC theo a. (Đ/s: 4 ).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA

(ABC), đáy là ABC có AB = AC

= a; BAC=1200. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là 300, I là trung điểm BC.
a

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AI và SB theo a. (Đ/s: 11

66

).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Chân
đường vuông hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc cạnh BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA, biết SA=a và SA tạo
a 3

với mặt phẳng đáy một góc 300. (Đ/s: 4 ).
Bài 4:Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có AA1= a

2,

đường

thẳng B1C tạo với mặt phẳng (ABB1A1) góc 450. Tính khoảng cách giữa AB1 và
BC. (Đ/s:



b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC’ và CD’
(Đ/s: a)

a 10

; b)

a

).

2

5

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và SA
vuông góc với đáy. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng:
(Đ/s: a)

a) SC và AB;
ah
2

a h

2

; b)

- 25% học sinh làm được 80% số bài.
- 15% học sinh làm được 60% số bài.
- Điều đáng nói là chỉ có một số rất ít học sinh không làm được bài tập (3
em học rất yếu hình trong lớp)
20


C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận: Trong quá trình giảng dạy nhiều năm, tôi đúc rút ra cách dạy
một cách hiệu quả các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
như đã trình bày ở trên. Điều quan trọng là giáo viên phải rèn luyện cho học sinh
kĩ năng nhìn nhận, phân tích, lựa chọn phương pháp giải thích hợp đối với từng
bài toán. Tôi thấy hầu hết các em sau khi học xong chuyên đề đều tỏ ra hứng
thú, tự tin hơn trước loại toán được coi là khó này. Đặc biệt trong phương pháp
gián tiếp-là phương pháp thường sử dụng - các em đều đã biết cách chọn mặt
phẳng thích hợp chứa đường thẳng này, song song với đường thẳng kia, biết
chọn điểm trên đường thẳng sao cho dễ xác định được khoảng cách từ điểm đó
đến mặt phẳng và thông thường quy về khoảng cách từ chân đường vuông góc
tới mặt bên... Qua đó góp phần phát triển tư duy phân tích, sáng tạo cho học
sinh, tạo nên sự hứng thú, say mê của học sinh đối với môn toán nói chung và
bài toán khó về khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau nói riêng.
2. Kiến nghị: Phần hình học không gian đòi hỏi người học phải có tư duy
trừu tượng, có óc tưởng tượng nên việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh rất cần thiết.
Tuy nhiên điều đó bắt buộc giáo viên không chỉ cung cấp lời giải bài toán cho học
sinh mà còn phải đầu tư suy nghĩ đưa ra hệ thống câu hỏi, phân tích cho học sinh tự
nhận ra hướng giải để từ đó các em có thể giải được các bài toán khác.

Phạm vi ứng dụng của đề tài là rộng rãi và cần thiết đối với HS dự thi HSG
và thi THPTQG (có mục đích tuyển vào các trường ĐH). Đề tài đã được tôi
kiểm nghiệm tính hiệu quả trong giảng dạy.