PHẦN GIẢI TÍCH:

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x

2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c) x>1
ln
x
e
x

2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x
0
∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của hàm số
f(x).
- 1 -
Tóm tắt lý thuyết
các dạng bài tập
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x

0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số
2
2 4

Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + + đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
Xác định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + −
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )

2
), ..., f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y x x= + −
.
c)
3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=

+ Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x
0
thì điểm M
0
(x
0
,f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thị hàm số.
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm a,b để hàm số
3 2
axy x x b= − + +
nhận điểm (1;1) làm điểm uốn.
Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
có ba điểm uốn thẳng hàng.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc
bé nhất.

− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= − .
- 3 -
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
1. Khảo sát hàm số .
2

y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
.
d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x

=
+
(tử, mẫu không có nghiệm chung, ... )
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số
x
mx)m(x
y
+−+
=
2
2
, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó,
tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài 2) Cho hàm số
2
54
2
−
+−
=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O.

tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
- 5 -
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
xO
I
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I
x
y
O

5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ số a
Lũy thừa
α
a
*
Nn
∈=
α
Ra
∈
naaaaa
n
(.......

),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0
>
a
)( abbaaaa
n
n
n
m
n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0
>
a
n
r

.
a > 1 :
βα
βα
>⇔>
aa
0 < a < 1 :
βα
βα
<⇔>
aa
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số
0,10
>≠<
ba
.

bab
a
=⇔=
α
α
log
beb
bb
=⇔=
=⇔=
α
α





bb
aa
log.log
α
α
=
Đặc biệt:
b
n
bb
b
a
n
aaa
log
1
log;log
1
log
=−=
*
ccb
b
c
c
aba

<<⇔><<
>>⇔>>
0loglog:10
0loglog:1
5. GIỚI HẠN.

1
)1ln(
lim;1
1
lim
00
=
+
=
−
→→
x
x
x
e
x
x
x
6. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee
=
)'(
aaa

−
=
uu
eue '.)'(
=
aaua
uu
ln.'.)'(
=
u
u
u
'
)'(ln
=
au
u
u
a
ln.
'
)'(log
=
'.)'(
1
uuu
−
=
αα
α

xgxf
aa
b)
)()(1
)()(
xgxfaaa
xgxf
>⇔>>

0)()()(log)(log >>⇔> xgxfxgxf
aa
c)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
<⇔><<

)()(0)(log)(log xgxfxgxf
aa
<<⇔>
I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.
1)
( )
5
5
2
3
126

a
aa
aa
a
4)






+−








+
+
−
+
m
m
m
m
m
1

−






+
2)
20
3
1
1
3
2
2
3
1
)9(864.)2(001,0
+−−−
−
−
−
- 7 -
3)
5,0
75,0
3
2
25



−−−
* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)
7
35
.2
8
1
ax
2)
3
4
5
. aa
3)
4
8 3
. bb
4)
4
3
.27
3
1
a
* Tính .
1)
( )

3222
+
−
−
ba
ba
2)
334
3333232
))(1(
aa
aaaa
−
++−
3)
π
π
ππ








−+
abba .4)(
1
2







b
a
3)
5
4
9 ba
4)
7
2
27a
b

* Tính giá trị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log
9
10 2)
3
3
1
3

9
49.2581








+
−
2)
5log33log
2
1
5log1
52
4
4216
+
+
+
3)







* Tính.
1)
2020
)32log()32log(
−++
2)
)725log()12log(3
−++
3)
e
e
1
lnln
+
4)
).ln(4ln
21
eee
+
−
* Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)
5
3
2log
5
−=
x

−
x
e
3) y = ln






−
−
x
x
1
12
4) y = log(-x
2
– 2x ) 5) y = ln(x
2
-5x + 6) 6) y =








−

→
3)
)32(lim
5
xx
x
−
→
4)








−
∞→
xex
x
x
1
.lim
- 8 -
5)
x
x
3
9

→
9)
11
1
lim
0
−+
−
→
x
e
x
x
10)
x
x
x
tan
)21ln(
lim
0
+
→
* Tính đạo hàm của các hàm số sau.
1) y = (x
2
-2x + 2).e
x
2) y = (sinx – cosx).e
2x

e
11) y =
x
x
π
π
.
12) y =
3
x
13) y =
3 2
2ln x
14) y =
3
2cos x
15) y = 5
cosx + sinx
* Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = e
sinx
; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2
x
= 0
4) y = e
x
.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

4).
x
x
34
2
2
2
1
2
−
−
=






5).
( ) ( )
223223
2
+=−
x
6).
( ) ( )
1
1
1
2525

2
1
.
2
1
217
=












−+
xx
10)
27
6020
5.3.4
131
=
+−+
xxx
11) 5

x+1
– 6. 2
x+1
+ 8 = 0
3) 3
4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27 4) 3
1+x
+ 3
1-x
= 10
5) 5
x-1
+ 5
3 – x
= 26 6) 9
x
+ 6
x
= 2. 4
x

7) 4
x
– 2. 5
2x
= 10
x

11)
12356356
=






−+






+
xx
12)
( ) ( )
x
xx
2.14537537
=−++
13) 3
2x+4
+ 45. 6
x
– 9. 2
2x+2

2
2
3.368
4)
5008.5
1
=
−
x
x
x
5)
x
x
255
5
log3
=
−
6)
5
3log
6
33.
−
−
−
=
x
x

x
= 3 – x
5) log
2
x = 3 – x 6) 2
x
= 2 – log
2
x 7) 9
x
+ 2(x – 2)3
x
+ 2x – 5 = 0
V. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
* Giải các phương trình.
1) log
2
x(x + 1) = 1 2) log
2
x + log
2
(x + 1) = 1 3) log(x
2
– 6x + 7) = log(x – 3)
4) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 3 5) log
4

2
+ log
2
(x – 1)
3
= 7 2) log
4x
8 – log
2x
2

+ log
9
243 = 0
3)
33loglog3
33
=−
xx
4) 4log
9
x + log
x
3 = 3
5) log
x
2 – log
4
x +
0

3
4 8) log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x =
3
2
9) log
5
x
4
– log
2
x
3
– 2 = -6log
2
x.log
5
x 10)
3log)52(log
2
52
2
2





=−
=
2)(log
9722.3
3
yx
yx
4)



=−
=+
2loglog
25
22
yx
yx
5)



=+
=+
1
433

yxx
8)



=−−+
=−
1)(log)(log
3
53
22
yxyx
yx
9)





=+−
+=
0log.log)(log
)(logloglog
2
222
yxyx
xyyx
10)





=
+=
64
log1
2
y
x
xy

13)



=−−+
=−
1)23(log)23(log
549
35
22
yxyx
yx
14)





=

4
2
1
45
2
>






+−
xx
4)
13732
3.26
−++
<
xxx
5)
439
1
+<
+xx
6) 3
x
– 3
-x+2
+ 8 > 0 7)

12)
0)
1
21
(loglog
2
3
1
>
+
+
x
x
13) log
2
2
x + log
2
4x – 4 > 0 14)
0log3log
3
<−
xx
15) log
2
(x + 4)(x + 2)
6
−≤
16)
0

0
≤
20)








−






<








−



+
−
x
x
x
x
* Tìm tập xác định của các hàm số.
1) y =
2
5
12
log
8,0
−
+
+
x
x
2) y =
1)2(log
2
1
+−
x
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số

( )
f x
. Ta gọi
( )
F x C+
là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là
( )
f x dx
∫
.
Như vậy:
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
2). Tính chất:
a.TC1:
( ) ( ) ( )
0;kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
b.TC2:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫

x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C= +
∫
sin cosxdx x C= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
- 11 -