TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN
Tiếp theo ( 21 – 40)

21. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh
3
2( )
1 1 1 2
x y z x y z
y z x
xyz
 
+ +
  
+ + + ≥ +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
Hướng dẫn:
Ta có
3 3
2( ) 2( )
1 1 1 2 2 2
x y z x y z x y z x y z x y z
y z x y z x z x y
xyz xyz
     
+ + + +
  

3 3 3
3 3 3x y z
xyz xyz xyz
≥ + +
.
22. Cho ba số dương x ,y, z . Chứng minh
3 3 3
x y z
x y z
yz zx zx
+ + ≥ + +
Hướng dẫn:
Ta có

3
3
x
y z x
yz
+ + ≥

3
3+ + ≥
y
z x y
zx

3
3+ + ≥
z

Hướng dẫn:
Ta có
2 2
2 2
2 2
1 1
a ab ab ab
a a a
b
b b
= − ≥ − = −
+ +
và
3ab bc ca+ + ≤
25. Chøng minh r»ng :
a)
2
22
22






+
≥
+
baba
;

=
( )
4
2
4
2
2222
bababa
++
−
+
=
( )
abbaba 222
4
1
2222
−−−+

=
( )
0
4
1
2
≥−
ba
VËy
2
22

0
9
1
222
≥−+−+−
accbba
VËy
2
222
33






++
≥
++
cbacba
DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c
26. Chøng minh ∀m,n,p,q ta ®Òu cã
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2









+−+








+−⇔
m
m
qmq
m
pmp
m
nmn
m
01
2222
2222
≥

m
p
m
n
m
(lu«n ®óng)
583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 2 - GV: Nguyễn Văn Xê
TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht trong giỏo dc
Dấu bằng xảy ra khi











=
=
=
=
01
2
0
2
0
2

m
p
m
n




===
=
1
2
qpn
m
27. Cho a, b, c, d,e là các số thực,
Chứng minh rằng
a)
ab
b
a
+
4
2
2
b)
baabba
++++
1
22
c)

b
a
+
4
2
2
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
baabba
++++
1
22

)
)(21(2
22
baabba
++>++

012122
2222
+++++
bbaababa

0)1()1()(
222
++
baba
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy

+++
cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

28. Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++++
Hng dn:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++++


128448121210221012
bbabaabbabaa
++++++



( ) ( )
0
22822228
+
abbababa

a
2

+b
4
)

0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
583 -727 -TRN CAO VN - NNG*T: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 3 - GV: Nguyn Vn Xờ
TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht trong giỏo dc
29. Cho x.y =1 và x.y = 1. Chứng minh
yx
yx

+
22

22
Hng dn:
yx
yx

+
22

22
vì :x

y nên x- y

0


y -2

0

x
2
+y
2
+(
2
)
2
-
22
x+
22
y -2xy

0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y-
2
)
2


0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
30. Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)


( )
2
ac +

( )
2
222
864 abccba
=


(a+b)(b+c)(c+a)

8abc
Dấu = xảy ra khi a = b = c
31. Cho a>b>c>0 và
1
222
=++
cba
. Chứng minh rằng:

3 3 3
1
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Hng dn:





+
+
+
+
+
++

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
acba
ba
c
c
ca
b
b
cb
a
a .

3
1

32. Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++ acddcbcbadcba
Hng dn:
Ta có
abba 2
22
+

cddc 2
22
+
Do abcd =1 nên cd =
ab
1
(dùng
2
11
+
x
x
)
Ta có
4)
1


++






+
bc
bc
ac
ac
ab
ab
Vậy
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++ acddcbcbadcba
33. Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

222222
)()( dcbadbca
++++++
Hng dn:
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd

2222

và
Ta có
( )
( )
01.1
2
<
ba


1-b-
2
a
+
2
a
b > 0


1+
2
a
2
b
>
2
a
+ b
mà 0< a,b <1


b
< 1+
2
a
2
b
Tơng tự
3
b
+
3
c
cb
2
1
+

c
3
+
3
a

ac
2
1
+
Cộng các bất đẳng thức ta có :

accbbacba

cba
a
+++
+
<
++
<
++
1
(1)
Mặt khác :
dcba
a
cba
a
+++
>
++
(2)
Từ (1) và (2) ta có
dcba
a
+++
<
cba
a
++
<
dcba
da