Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
1. Bất đẳng thức AM-GM: Với m số không âm ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi
AM-GM suy rộng:Với m số không âm và m số thực dương: ta
có:
Mình chỉ mới thấy lời giải cho : là số hữu thỉ dương thui.
2.Cauchy - Schwazs: . với 2 bộ n số và thì :
Đẳng thức xảy ra khi :
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với bất k“ và ta có :
Đẳng thức xảy ra khi
4.Bất đẳng thức Mincopxki ( Mincowski): Với 2 bộ n số và ;1<p
hửu tỉ thì :
Đẳng thức xảy ra khi :
5. Bất đẳng thức Holder : Cho hai bộ
thì BĐT sau đúng :
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau
Các hệ quả đơn giãn hay dùng:
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
Ngoài ra như chúng ta biết là còn 4 bất đẳng thức mở rộng nữa tuy nhiên nó ít được ứng
dụng,xin không nêu.
6. Bất đẳng thức Schur : 6.1) Dạng tổng quát:
Cho và ta có :
Đẳng thức xảy ra khi : hoặc hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: và
.
Trong trường hợp thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
Hệ quả rất thông dụng:
Với ta có dạng quen thuộc hơn:
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
.
6.2) Schur suy rộng:

[u] 10.Bất dẳng thức Jensen:
Cho
Nếu là hàm lồi trên I thì ta có:
Nếu là hàm lõm trên I thì ta có:
Cái Jensen trình độ mới chỉ vận dụng làm được vài bài đơn giãn nên dừng tại cái cơ bản
này.(Nhìn đơn giãn quá nhỉ)
11.Bất đẳng thức karamataCho 2 bộ được sắp xếp theo thứ tự
với (a) trội hơn (b) khi đó ta có:
Nếu là hàm lồi trên I thì ta có:
Nếu là hàm lõm trên I thì ta có:
Ngoài ra ta còn có RCF;LCF;LCRCF,SIP nhưng chưa học kĩ hàm lồi bên trái bên phải nên
không giám viết bậy.
12.Bất đẳng thức đổi biến P,Q,R[/u]Đặt
Khi đó ta có:
;
13.Vài tiêu chuẩn S.O.S
1)
2)
3)
4)
5)
HeHe.Mình thất Phân tích thành bình phương không khó mà cái khó là dùng tiêu chuẩn
nào để cm được thui.
14.Các dạng dồn biến:
1) Dồn biến có điều kiện:Để chứng minh với a,b,c là các biến và tồn tại
thì chỉ cần chứng minh
với t là biến thõa mãn .Thường t= tb cộng,tb nhân,tb điều
hòa;căn tb tổng các bình phương ....
2)Ngoài ra còn SMV;UMV;dồn biến bằng quy nạp thừa;EMV;GMV
mình chỉ mới biết vận dụng cái đầu tiên là dồn biến về giá trị trung bình nên cũng không