Đề2
Bài 1: (5 đ)
Cho biểu thức A =
2
1 1
:
x
x x x x x x
+
− + +
.
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức A.
Bài 2: ( 5 đ)
a/ Chứng minh rằng: M = 11
10
– 1 chia hết cho 600.
b/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để cho N = 2
n
+ 1 chia hết cho 3.
Bài 3:( 5 đ)
a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy
2
+ 3y
2
– x = 108.
b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất:
B = 10x
2
+ 12xy + 4y
2

Điểm
a)
(2,5 đ)
Điều kiện của x để A có nghĩa là:
2
0
0
0
1 0
x
x x
x x x x
x
≥


− ≠


+ + ≠


+ ≠


⇔
3
0
( 1) 0
( 1) 0

(2,5đ)
Đặt
x
= a
⇒
x = a
2
. (a > 0, a
≠
1)
0,5đ
Ta có: A =
4 3 2
1 1
:
a
a a a a a
+
− + +
=
2
3
1 ( 1)
.
( 1) ( 1)
a a a
a a a
+ +
− +
0,5đ

+ 11
8
+ 11
7
+ 11
6
+ ...+ 11
2
+ 11 + 1).
Vậy chỉ cần chứng minh biểu thức M
/
= (11
9
+ 11
8
+ 11
7
+...+ 11
2
+ 11 + 1) chia hết
cho 60.
0,5đ
Thật vậy: M
/
= (11
9
+ 11
8
+ 11
7

8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+ 1).
1đ
Vì (11
8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+ 1)
M
5
⇒
M
/

M
60. Vậy M = (11
10
– 1)
M
600.

( - 1)
n
+ 1 chia hết cho 3
⇔
n là số tự nhiên lẻ.
0,5đ
Bài 3:
5đ
a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy
2
+ 3y
2
– x = 108.
b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất:
B = 10x
2
+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7.
a)
(2,5đ)
Trừ cả hai vế của phương trình cho 3, ta được phương trình:
(xy
2
+ 3y
2
) – (x + 3) = 105
⇔
(y
2

2
– 1 = 3
⇒
x + 3 = 35 hay y = 2, x = 32
Với y
2
= 16
⇒
y
2
– 1 = 15
⇒
x + 3 = 7 hay y = 4, x = 4
Với y
2
= 36
⇒
y
2
– 1 = 35
⇒
x + 3 = 3 hay y = 6, x = 0.
Phương trình có các cặp nghiệm: (x = 32, y = 2); (x = 4, y = 4); (x = 0, y = 6)
1đ
b)
(2,5đ)
Ta có: B = 10x
2
+ 12xy + 4y
2

3
9
2
x
y
= −



−
=


0,5đ
Vậy với x = -3; y = -
9
2
biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 2
0,5đ
Bài 4
(5đ)
Cho tam giác ABC, có AB = c, trung tuyến AM. Một đường thẳng (d) quay xung
quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt AB tại P, cắt AC tại Q.
a/ Chứng minh rằng:
AB AC
AP AQ
+
= 3.
b/ Đặt AP = x, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
Vẽ

⇒
ME = MF
0.5đ
Vì BE // PQ, CF // PQ
⇒
theo hệ quả ĐL Ta-lét ta có:
;
AB AE
AP AG
=
AC AF
AQ AG
=

⇒

AB AC AE AF
AP AQ AG
+
+ =
=
( ) ( )AM ME AM ME
AG
− + +
1đ
=
2 3
2. 3
2
AM

⇒
x =
1
2
c
1đ
⇒

1
2
c
≤
x
≤
c. Vậy giá trị lớn nhất của x là c, giá trị nhỏ nhất của x là
1
2
c
0,5đ