Sở GD&ĐT Nghệ
An
Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12
Năm học 2008 - 2009
Môn thi: toáN 12 THPT- bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (3,0 im)
Tỡm m phng trỡnh sau cú bn nghim phõn bit thuc on
;
4 4
4 4 2
sin x + cos x + cos 4x = m.
Câu 2. (3,0 im)
Cho h
4
7 7 a
x y
x y

+ =


+ + +




Tớnh o hm ca hm s ti x = 0 v chng minh rng hm s t cc tiu ti x = 0.
Câu 4. (3,0 im)
Cho ba s dng a,b,c thay i. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
.
3 3 3
bc ca ab
P
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Câu 5. (3,0 im)
Cho n l s t nhiờn,
2.n
Chng minh ng thc sau:
( ) ( )
2 2
2 0 1 2 2 2 2 1 2
1 2 ... 2 1 ( 1)2 .
n n n
n n n n n
n C n C n C C C n n

+ + + + + = +
Câu 6. (3,0 im)
Cho khi chúp S. ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Gi M, N, P ln lt l trung
im ca cỏc cnh AB, AD, SC. Chng minh rng mt phng (MNP) chia khi chúp
S.ABCD thnh hai phn cú th tớch bng nhau.
Câu 7. (2,0 im)
Cho t din ABCD cú AB = CD, AC = BD, AD = BC v mt phng (CAB) vuụng gúc

2
4 4 4 4 3cos x cos x m+ =
(1)
0.50
Đặt t = cos4x ta đợc:
2
4 4 3t t m+ =
, (2)
Với
;
4 4
x thì
[ ]
1;1 .t
0.50
Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
;
4 4
x
m<
.
0.50
2 3,0
Đặt
t x=
từ (1) và điều kiện suy ra 3 4t
Khi đó 4y t= y = t
2
8t +16.
0.50
Khi đó bất phơng trình (2) trở thành
2 2
7 8 23 ,t t t a+ + +
(3)
Đặt
2 2
( ) 7 8 23f t t t t= + + +
.
0.50
Ycbt bất phơng trình (3) có nghiệm t [3;4]
[3;4]
min ( )f t a
( )
2 2
4
'
7 8 23
t t
f t

[3;4]
min ( ) (3) 4 8f t f= = +
. Vậy a
4 8+
0.50
3 3.0
( )
0
( ) (0)
' 0 lim
x
f x f
f
x


=
0.5
( )
2 23
2
0 0
2
2 2 23
3
1 sin 1 sin
lim lim
1 sin 1 sin 1
x x
x x x x

0.5
Mặt khác với
0x

, ta có
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 23
3
sin
0 0 .
1 sin 1 sin 1
x
f x f x f
x x x x
= =
+ + + +
0.5
Vì
( )f x
liên tục trên R nên từ đó suy ra
( )
f x
đạt cực tiểu tại
0.x
=
0.5

x yz y zx z xy

= + + =
ữ
+ + +

0.50
áp dụng bđt BCS ta đợc
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 3 3
. 3 3 3
x y z
x yz y zx z xy
x yz y zx z xy
Q x y z xy yz zx

ữ
+ + + + +
ữ
+ + +

+ + + + +
0.50
( )
( )

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
3
.
4
0.50
5 3.0
Ta có với 0x ,
( ) ( )
0
1 , 1
n
n
k n k
n
k
x C x

=
+ =

0.5
Đạo hàm hai vế của (1) ta đợc
( )
1
1
1
0
1 ( )
n
n


1,0
Đạo hàm hai vế của (2) ta đợc
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 2
1
0
1 1 1 . , 3 .
n
n n
k n k
n
k
n x n x n k C x
=

+ + + =


0.5
Thay 1x = vào (3) ta đợc đpcm 0.5
6 3.0
Gọi K và I lần lợt là giao điểm của MN với CD và BC, ta có CK =
3
2
CD, CI =

0.25
V
PCIK
=
9
16
V
SABCD
, (1)
0.25
Mặt khác
1
. .
18
IBEM
ICPK
V IB IE IM
V IC IP IK
= =
(2)
0.5
Từ (1) và (2) V
IBEM
=
1
32
V
SABCD
0.25
Tơng tự V

=
1
2
V
SABCD
0.25
Vậy V
2
=
1
2
V
SABCD
đpcm
0.25
7 2,0
A
D
S
P
C
B
M
E
F
N
I
K
O
M

áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta đợc
ã
( )
2 2 2
2 . .cos , 3MD BM BD BM BD MBD= +
0.25
Từ (1), (2), (3) ta đợc
2 2 2 2
2 . .cosCM BM BD BM BD A CD+ + =
2 2 2 2 2 2
2 . .cos 2 cos .cosBC BD BM BD A CD a b ab A B c+ = + =
0.25
1
cos cos .cos sin .sin 2cos .cos cot .cot .
2
C A B A B A B A B = = =
0.5
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng với biểu
điểm quy định.
M
A
B
C
D