Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng
Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm với hệ
số bị ràng buộc.
Bài toán 1: Chứng minh rằng phơng trình
0
2
=++
cbxax
(
0

a
) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
i)
( )
042
<++
cbaa
ii)
0235
=++
cba
Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện a+2b+3c=1. Chứng minh
rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm

011924)12(44
22
=++++
abcaxax
(1)

cbxaxxf
++=
2
)(
(
0

a
). Chứng minh rằng nếu tồn tại
Rm

để
0)(.

mfa
thì
phơng trình f(x)=0 có nghiệm.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu
2
>+
ba
thì phơng trình
012
2
=++
abxax
có nghiệm.
Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thoả mãn điều kiện
0
++

Zba

,
) có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là những
số nguyên.
b) Nếu a, b, c là những số nguyên lẻ thì phơng trình
0
2
=++
cbxax
không có nghiệm hữu tỉ.
Bài toán 9: Cho a, b, c thoả mãn -1<a,b,c<1 và a+b+c=0. Chứng minh rằng phơng trình
sau vô nghiệm
0)1(2)(2
2
=+++
cabcabxcbax
Bài toán 10: Cho a, b, clà ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong
ba phơng trình sau có một phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm.
0
2
=++
baxx
(1)

0
2
=++
cbxx
(2) và

xmx
(2)
Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm
chung đó.

019)17(6
09)13(2
2
2
=+
=++
xmx
xmx
Bài toán 3: Xét các phơng trình
0
2
=++
cbxax
(1)

0
2
=++
abxcx
(2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung
duy nhất.
Bài toán 4: Với những giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung
012
2

(2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm
của phơng trình (1).
Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phơng trình sau nếu có nghiệm thì chúng có
một nghiệm chung và chỉ một mà thôi.
0)2(2)1(2
2
=++
aaxax
(1)

0)2(2)1(2
2
=++
bbxbx
(2)
Bài toán 8: Cho hai phơng trình
0
2
=++
axx
(1) và
01
2
=++
axx
(2)
a) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài toán 9: Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
1 2
1 1 7
4x x
+ =
Bài toán 2: Cho phơng trình
2
2( 1) 3 0x m x m + =
a) CMR: với mọi giá trị của m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
http://violet.vn/tranthuquynh81
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình đã cho. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập
với m.
Bài toán 3: Cho phơng trình
2
2 6 0x x m + =
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm dơng.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
1 2
2 1

2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để
1 2
. 0x x >
và
1 2
2x x=
Bài toán 7: Cho phơng trình
2
2 1 0x x =
. Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị
các biểu thức a)
7 7
1 2
x x+
b)
1 2
x x
Bài toán 8: Cho phơng trình
2
( 4) 2( 2) 1 0m x m x m + =
. Xác định m để phơng trình
a) Có hai nghiệm cùng dấu.
b) Có hai nghịêm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.
c) Có một nghiệm dơng.

1 0x mx m + =
1. CMR phơng trình có nghiệm
1 2
;x x m
. Tính nghiệm kép (nếu có) của phơng trình và giá
trị tơng ứng của m
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= +
a) CMR: A=m
2
+8m+8 b) Tìm m sao cho A=8.
c) Tìm GTNN của A và giá trị tơng ứng của m.
Bài toán 12: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số):
2
2 2 1 0x mx m + =
1. CMR phơng trình có nghiệm
1 2
;x x m
.
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
2( ) 5A x x x x= +
a) CMR: A=8m
2
-18m+9 b) Tìm m sao cho A=27.
http://violet.vn/tranthuquynh81
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
3 3
1 2
50x x =
Bài toán 17: Cho phơng trình ẩn x:
2 2
(2 1) 4 5 0x m x m m + + + =
có ẩn là x.
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng.
Bài toán 18: Cho phơng trình
2
( 2)( ) ( 2)(2 ) 0x x x x x m = (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Bài toán 19: Cho phơng trình:
2
2( 1) 2 0x m x m + + =
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình. CMR: giá trị của biểu thức B=
1 2 1 2
.x x x x+

không phụ thuộc vào tham số m.

2( 1) ( 1) 0x m x m+ + =
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c là những số dơng thì phơng trình
http://violet.vn/tranthuquynh81
1 1 1
0
x x a x b
+ + =

Có hai nghiệm
1 2
;x x
1 2
(x >x )
sao cho
1
2
3 3
a a
x< <
và
2
2
3 3
b b
x

< <


( 4) 2( 2) 1 0m x m x m + =
. Xác định m để phơng trình có
hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn:
a)
1 2
0x x< <
và
1 2
x x>
b)
2 2
1 2 1 2
2( )x x x x+ = +
Bài toán 11: Cho phơng trình
2
( 1) 2 5 0m x mx m+ + + =
. Xác định m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2.
b) Có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2
Bài toán 12: Cho phơng trình
2
0;( 0)ax bx c a+ + =
có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn điều kiện
2

2
là nghiệm của phơng trình đã cho
Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài toán 23: Cho phơng trình bậc hai ẩn x
2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để
1 2
0x x >
và
1 2
2x x=
Bài toán 24: Cho
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình
2
2
1
0x mx
m
=
http://violet.vn/tranthuquynh81