– Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí
CHUYÊN ðỀ : ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIET TRONG GIẢI TOÁN

A. MỞ ðẦU Trong một vài năm trở lại ñây thì trong các ñề thi vào lớp 10 trung học
phổ thông , các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- Et
xuất hiện khá phổ biến . Trong khi ñó nội dung và thời lượng về phần này trong
sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa ña dạng .
Ta cũng thấy ñể giải ñược các bài toán có liên qua ñến hệ thức Vi – Et,
học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về ñại số , thông qua ñó học sinh có cách
nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.
Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên ñề này ngoài mục
ñích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng
toán có trong ñề thi vào lớp 10 trung học phổ thông
Nội dung chính của chuyên ñề gồm :

I. Ứng dụng 1

II. Ứng dụng 2

III. Ứng dụng 3

IV. Ứng dụng 4

V. Ứng dụng 5

VI. Ứng dụng 6

VII. Ứng dụng 7

b
x
a
− − ∆
=
;
2
2
b
x
a
− + ∆
=

Suy ra:
1 2
2
2 2
b b b b
x x
a a a
− − ∆ − + ∆ − −
+ = = =2
1 2
2 2 2
( )( ) 4
4 4 4

a) Nếu cho
x
= 1 thì ta có (*)

a.1
2
+ b.1 + c = 0

a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
1
1
x
=
và nghiệm còn lại là
2
c
x
a
=

b) Nếu cho
x
=
−
1 thì ta có (*)

a.(
−
1)

Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
−
b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x = −
và
2
3
2
x
−
=

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
1
1
x =
và
2
11
3
x
−
=

Bài tập áp dụng:
Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2

5 0
x x q+ + =
có một nghiệm bằng 5, tìm
q
và nghiệm thứ hai.
– Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí
c) Cho phương trình :
2
7 0
x x q− + =
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm
q
và hai nghiệm của
phương trình.
d) Tìm
q
và hai nghiệm của phương trình :
2
50 0
x qx− + =
, biết phương trình có 2 nghiệm và
có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:

a) Thay
1
2
x =
v à phương trình ban ñ ầu ta ñ ư ợc :

50
x x = −
suy ra
2
1
50 50
10
5
x
x
− −
= = = −

c) Vì vai trò của
x
1
và
x
2
bình ñẳng nên theo ñề bài giả sử
1 2
11
x x− =
và theo VI-ÉT ta có
1 2
7
x x+ =
,
ta giải hệ sau:
1 2 1

x x =
. Suy
ra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5
5
x
x x
x
= −

= ⇔ = ⇔

=


Với
2
5
x = −
th ì
1
10
x = −

Với

S x x
P x x
= + =


= =

vậy
1 2
;
x x
là nghiệm của phương trình có dạng:

2 2
0 5 6 0
x Sx P x x− + = ⇔ − + =

Bài tập áp dụng:
1. x
1
= 8
vµ
x
2
= -3
2. x
1
= 3a
vµ
x

;
x x
. Không giải phương trình trên,
hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là
y
thoả mãn :
1 2
1
1
y x
x
= +
và
2 1
2
1
y x
x
= +

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x

3 5 6 0
x x+ − =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
. Không giải phương trình, Hãy lập
phương trình bậc hai có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
= +
và
2 2
1
1
y x
x
= +

(ðáp số:
2
5 1
0
6 2
y y+ − =
hay
2

1 2
;
x x
. Hãy lập phương trình bậc hai
có các nghiệm
1 2
;
y y
sao cho :
a)
1 1
3y x= −
và
2 2
3
y x= −
b)
1 1
2 1y x= −
và
2 2
2 1
y x= −

(ðáp số a)
2 2
4 3 0
y y m− + − =
b)
2 2

x x+ − =

giải phương trình trên ta ñược
1
1x =
và
2
4x = −

Vậy nếu a = 1 thì b =
−
4
– Thư viện Sách giáo khoa, Bài giảng, ðề thi miễn phí
nếu a =
−
4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P = 2
2. S =
−
3 và P = 6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x
2

−
y
2


+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=

− + = ⇔

=


Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) ðã biết tích: ab = 36 do ñó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: ð ặt c =
−
b ta có : a + c = 5 và a.c =
−
36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :
1
2

2
13
13
13
a b
a b
a b
+ = −

⇒ + = ⇒

+ =


*) Với
13a b+ = −
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
= −

+ + = ⇔



Vậy a = 9 thì b = 4
3) ðã biết ab = 30, do ñó cần tìm a + b:
T ừ: a
2
+ b
2
= 61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11
a b a b ab
⇒ + = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ = −

⇒

+ =


*) Nếu
11
a b
+ = −
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=

− + = ⇔

=


Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
ðối các bài toán dạng này ñiều quan trọng nhất là phải biết biến ñổi biểu thức nghiệm ñã cho về
biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P ñể áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu
thức

1. Biến ñổi biểu thức ñể làm xuất hiện : (
1 2
x x
+
) và

+ = + = + − = + − −
 

d)
1 2
1 2 1 2
1 1
x x
x x x x
+
+ =

Ví dụ 2
1 2
?
x x
− =

Ta biết
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x− = + − ⇒ − = ± + −

Từ các biểu thức ñã biến ñổi trên hãy biến ñổi các biểu thức sau:
1.
2 2
1 2
x x
−

1 2 1 2
x x x x
+ −
=…… )
4.
6 6
1 2
x x
+
( =
( )( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )
x x x x x x x x
+ = + − +
= ……..)
Bài tập áp dụng
5.
6 6
1 2
x x
−
6.
5 5
1 2
x x
+
7.
7 7

15
 
 
 

3.
1 2
2 1
x x
x x
+

34
15
 
 
 
4.
( )
2
1 2
x x
+
(46)
b) Cho phương trình :
2
8 72 64 0
x x
− + =
Không giải phương trình, hãy tính: