Vấn đề 4. ĐẠO HÀM
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm
1) Đònh nghóa.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác đònh trên khoảng
( )
;a b
và
( )
0
;x a b∈
.
Nếu tồn tại :
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
thì đạo hàm của hàm số
( )
y f x=
tại điểm

∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
, trong đó :

( ) ( )
0 0 0
,x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ −
2) Cách tính đạo hàm tại một điểm
Bước 1. Giả sử
x∆
là số gia của
0
x
, tính
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −
.
Bước 2. Lập tỉ số
y
x
∆
∆
.
Bước 3. Tính
0
lim

'
2
' '
, 0
u u v uv
v x
v v
−
 
= ≠
 ÷
 
III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
•
( )
1
' .x x
α α
α
−
=

( )
1
' . 'u u u
α α
α
−
=


u
u
u
=
•
( )
'
sin cosx x=
( )
'
sin '.cosu u u=
•
( )
'
cos sinx x= −
( )
'
cos '.sinu u u= −
•
( )
'
2
2
1
1
cos
tgx tg x
x
= = +
( )

sin
u
gu u cotg u
u
= − = − +
•
( )
'
x x
e e=
( )
'
'.
u u
e u e=
•
( )
'
.ln
x x
a a a=
( )
'
. '.ln
u u
a a u a=
•
( )
'
1

=
IV. Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm cấp
1n −
, kí hiệu là
( )
( )
1n
f x
−
. Nếu
( )
( )
1n
f x
−
có đạo
hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của
( )
f x
, kí hiệu là
( )
n
y
hay
( )
( )

2
5 2 2cos 1 4 3 cos 0x x⇔ + − − =
2
4 cos 4 3 cos 3 0x x⇔ − + =
( )
2
2cos 3 0x⇔ − =
3
cos cos
2 6
x
π
⇔ = =
2 ,
6
x k k
π
π
⇔ = ± + ∈ ¢
.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số :
6 6 2 2
sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + +
có đạo hàm
'y
không phụ thuộc vào x.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)
Giải
Ta có:
6 6 2 2

Tính đạo hàm
( )
'f x
và giải phương trình
( )
' 0f x =
.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)
Giải
•
( )
' cos cos3 2cos5f x x x x= + +
•
( )
' 0 cos cos3 2cos5 0f x x x x= ⇔ + + =
( ) ( )
cos cos5 cos 3 cos5 0x x x x⇔ + + + =
2cos3 cos 2 2 cos 4 cos 0x x x x
⇔ + =
( )
3
4 cos 3cos cos 2 cos 4 cos 0x x x x x⇔ − + =
( )
2
cos 4 cos 3 cos 2 cos 4 0x x x x
 
⇔ − + =
 
( )
2

β


=

+

⇔ = =


−

= =



( )
2
2
2
x k
x k k
x k
π
π
α
π
β
π


log 2
x
f x x=
ln 2
.
ln
x
x
=

ln 2.
ln
x
x
=
( )
2
ln 1
' ln 2.
ln
x
f x
x
−
 
⇒ =
 ÷
 
•
( )

Ví dụ 5. Chứng minh hàm số
( ) ( )
3cos ln 4sin lny x x x= + 
 
thoả mãn phương trình:
2
'' ' 2 0x y xy y− + =
.
Giải
Ta có:
•
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
' 3cos ln 4sin ln sin ln cos lny x x x x x
x x
 
= + + − +
 
 

( ) ( )
7 cos ln sin lnx x= +
•
( ) ( )
7 1
'' sin ln cos lny x x
x x
= − +
Do đó:
2

y x x y x
y
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

0
2000 2000
lim
x x x
x
x
+∆
∆ →
−
=
∆

0
2000 1
lim 2000 .
x
x
x
x
∆

0
1
lim 1
x
x
e
x
→
 
−
=
 ÷
 
.
Ví dụ 7. Cho hàm số
20
logy x=
.Tính đạo hàm
'y
theo đònh nghóa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)
Giải
Ta có:
( ) ( )
0 0
' lim lim
x x
y x x y x
y
y

 
+
 ÷
 
=
∆

0
ln 1
ln 20
lim
.
x
x
x
x
x
x
∆ →
∆
 
+
 ÷
 
=
∆

0
ln 1
1

lim 1
x
x
x
→
+
= .
Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại
0x =
:

( )
( )
2
1 0
1 0
x
x e khi x
f x
x ax khi x
−

+ >

=

− − + ≤


.

=
0
1
lim
x
x
x
e
e
x
+
−
−
→
 
−
= −
 ÷
−
 
1 1 0
= − =
•
( )
( ) ( )
0
0
' 0 lim
x
f x f

có đạo hàm tại điểm
0x =
( ) ( )
0 0f f
+ −
⇔ =
0 a⇔ = −

0a⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là:
0a
=
.
Ví dụ 9. Cho hàm số
x
y xe=
.
1) Tính đạo hàm cấp một
'y
và đạo hàm cấp hai
''y
của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm
đạo hàm cấp n
( )
n
y
.
2) Chứng minh rằng :
'' 2 ' 0y y y− + =
.