TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 - NĂM 2010
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I: (2 điểm). Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
-3m – 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị
hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y
– 74 = 0.
Câu II: (2 điểm).
1. Giải phương trình : 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0
2. Tìm m để phương trình
2 2
2
2 .( 4). 2 8 2 14 0
4
x
x x m x x x m
x
+
− + − + + − − − =
−
có nghiệm
thực.
Câu III: (2 điểm).
Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng ∆
1
:

1
ln( 1)x
I dx
x
+
=
∫
.
2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
2 2 2
1 1 1
2 2 2
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
Câu Va: (2 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC cân tại A , phương
trình cạnh AB: x + y – 3 = 0 , phương trình cạnh AC : x – 7y + 5 = 0, đường thẳng
BC đi qua điểm M(1; 10). Viết phương trình cạnh BC và tính diện tích của tam giác
ABC.
2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
1
2.
n
x
x
 
+
 ÷

2
– 4.
Tập xác định D = R.
Sự biến thiên.
Chiều biến thiên.
y’ = - 3x
2
+ 6x , y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2.
y’> 0 ∀ x ∈( 0;2). Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2).
y’ < 0 ∀ x ∈(- ∞; 0) ∪ (2; +∞).Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞;0) và (2; +∞).
0,25
Cực trị. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= y(2) = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= y(0) = - 4.
Giới hạn.
3 2 3 2
( 3 4) , ( 3 4)
x x
Lim x x Lim x x
→−∞ →+∞
− + − = +∞ − + − = −∞
.Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0,25
Tính lồi, lõm và điểm uốn.
y’’ = - 6x +6 , y’’ = 0 ⇔ x = 1.
x -∞ 1 +∞
y’’ + 0 -
Đồ thị

+ 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m.
Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0.
0,25
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m
3
– 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m
3
– 3m – 1)
Vectơ
3
(2 ;4 )AB m m=
uuur
; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
(8; 1)u = −
r
.
0,25
Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d ⇔
I d
AB d
∈


⊥

0,25
⇔
3
8(2 3 1) 74 0

3
cos
2
sinx cos
x
x

= −


= −


0,25
⇔
5
5
6
6
4
2
2
,
t anx 1
x k
x k
k Z
x k
π
π

x x
x x
+

≥

−

≠ ⇔− ≤ <


+ − ≥


0,25
Phương trình đã cho tương đương với
2 2
2
2 | 4 | 2. 8 2 14 0
4
x
x x m x x x m
x
+
− − − + + − − − =
−
⇔
2 2 2
( 2 8) 8 2 2 8 2 6 0x x m x x x x m− − + + − + − + + − − − =
. (1)

; f’(t) =
2
2
2 8
( 1)
t t
t
− − +
+
; f’(t) = 0 ⇔ t = - 4 v t = 2.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn [ 0 ; 3 ].
t -∞ -4 -1 0 2 3 +∞
f’(t) - 0 + + + 0 -
f(t)
- 2
-6
9
4
−
0,25
Phương trình đx cho có nghiệm x ∈ [ - 2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t ∈ [ 0; 3 ]
⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t) , t ∈ [ 0; 3 ] ⇔ - 6 ≤ m ≤ - 2
0,25
III-1
Đường thẳng ∆
1
có một vectơ chỉ phương
1
(1; 2;1)u = −
uur

uuur
. 0,25
Ta có
1 2
, . 5 2 1 2 0u u ON
 
= − + + = − ≠
 
uur uur uuur
. Suy ra hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
chéo nhau. 0,25
III -2
Phương trình đường thẳng ∆
2
:
0
3 2 0
x y
y z
+ =


+ + =

.
0,25
3

6. ( 3 )
λ λ µ µ
λ λ µ µ
− + +
+ + +
⇔
2 2
3. 3 5 | 5 |
λ λµ µ λ µ
+ + = − −
0,25
⇔ 2λ
2
- λµ - 10µ
2
= 0 ⇔ (2λ - 5µ)(λ + 2µ) = 0 ⇔ 2λ = 5µ v λ = - 2µ
Với 2λ = 5µ chọn λ = 5, µ = 2 ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 5x + 11y + 2z + 4 = 0
Với λ = - 2µ chọn λ = 2, µ = - 1 ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 2x – y – z – 2 = 0.
Kết luận: Có hai phương trình mặt phẳng (P) thoả mãn 5x + 11y + 2z + 4 = 0 ; 2x – y – z – 2 = 0.
0,25
IV-1
Đặt
2
2
3
2
2
ln( 1)
1
1

1
2
ln( 1)
1
2 ( 1)
x dx
x x x
+
− +
+
∫
0,25

2
2
1
ln 2 ln 5 1
2 8
1
x
dx
x
x
 
= − + −
 ÷
+
 
∫
2 2

−
0,25
IV -2
Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥
3
3 xyz
⇔ (xyz)
3
≥ 27.xyz ⇔ xyz ≥ 3
3
.
0,25
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
x
2
+ yz + yz ≥
2
3
3 ( )xyz
; y
2
+ zx + zx ≥
2
3
3 ( )xyz
; z
2
+ xy + xy ≥
2
3

Va-1
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
3 0 2
7 5 0 1
x y x
x y y
+ − = =
 
⇔
 
− + = =
 
.Hay A(2;1)
Phương trình đường phân giác góc A là
3 7 5
2 5 2
x y x y
+ − − +
=±
⇔
1
2
3 5 0

3 5 0
d
x y
d
x y
+ − =

5
7 5 0
3 7 0
x
x y
x y
y

=−

− + =


⇔
 
− + =


=


. Hay C(
11 2
5 5
;−
)
Diện tích tam giác ABC là :
1 1 24 36
( , ). . .3 2
2 2 5