Một số phương pháp giải pt vô tỉ
Phương trình(pt) chứa căn là 1 nội dung rất quan trọng trong chương trình bồi dưỡng HSG toán bậc
THCS và THPT,thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn HSG,thi vào lớp 10 chuyên và kể cả thi đại
học
Các phương pháp để giải phương trình(gpt) vô tỉ rất đa dạng và phng phú,đòi hỏi học sinh chúng ta phải
tư duy thông minh,linh hoạt,khéo léo trong việc vận dụng ,kết hợp các phương pháp giải.
I/Phương pháp biến đổi tương đương
Chúng ta xét một ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ 1:
Gpt:
Lời giải:
Pt đã cho tương đương:
Giả sử 2 vế pt cùng dấu,bình phương 2 về rồi rút gọn được:
<=> <=> <=>
Thử lại thấy thỏa mãn.Vậy pt có nghiệm
Rõ ràng,biến đổi tương đương là phương pháp đơn giản nhất đẻ gpt vô tỉ.Nhưng khi bình phương 2 vế,ta
cần chú ý tới điều kiện cùng dấu của 2 vế pt.Để cho chắc chắn,sau khi ra kết quả,chúng ta nên thử lại và
loại bỏ những nghiệm không thỏa mãn.
Chúng ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Gpt:
Lời giải:ĐKXD
Nếu gpt này bằng cách bình phương 2 vế thì lời giải sẽ dài dòng và không phù hợp với mỹ quan toán học
1 chút nào.Ta chú ý rằng có biểu thức nhân liên hợp là
và tích của chúng là
Do đó,pt đã cho tương đương:
<=>
Bình phương 2 vế được:
<=>
<=>
<=>
=> ( do với mọi )

Pt này tương đương:
<=>
<=> <=>
4)Pt dạng <=> <=>
Ví dụ 7:Gpt:
Lời giải:
Pt đã cho tương đương:
<=>
<=>
Vậy pt có nghiệm
__________________
III/Sử dụng định lý Viét để biến đổi pt chứa căn thành pt tích
Ví dụ 8:
Gpt:
Lời giải:Đặt ta có:
<=>
Chú ý rằng nên nếu đặt thì
<=>
<=>
<=>
Ví dụ 9:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Pt đã cho tương đương:
<=>
Đặt thu được:
Đặt <=>
<=>
<=>
Qua 2 ví dụ trên,ta thấy các bước giải cơ bản của phườn pháp này là:

d)
Đặt =>
<=>
Thu được
thu được
===============
V/Sử dụng BDT để gpt vô tỉ
Khi gpt vô tỉ ta chú ý đến các BDT sau:
1)BDT Cauchy(AM-GM)
Cho số không âm .Khi đó ta có BDT:
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 12:Gpt:
Lời giải:
ĐKXD .Theo BDT AM-GM ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
2)BDT Bunhiacopski(B.C.S)
Với 2 bộ số và bất kì ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 13:
Gpt:
Lời giải:
ĐKXD
Áp dụng BDT B.C.S ta có:
Đẳng thức xảy ra <=>
<=> (do
3)Áp dụng tính chất nghịch biến của hàm khi và đồng biến của khi
để gpt chứa căn
Ví dụ 14:Gpt:
Lời giải:ĐKXD
=>