3.Phương trình và Bất phương trình vô tỉ:
a)Phương pháp 1:Sử dụng các phép biến đổi tương đương
*
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
= ⇔ = ≥
n n
f x g x f x g x
*
2
( ) ( )= ⇔
n
f x g x

( ) 0
2
( ) ( )
≥
=
g x
n
f x g x
*
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
= ⇔ =
n
n

( ) ( )
≥
≥
+
<
f x
g x
n
f x g x

*
2n
f(x)>g(x) ⇔

( ) 0
( ) 0
( ) 0
2
( ) ( )
<
≥
≥
>
g x
f x
g x
n
f x g x
Ví duï 1: Giaûi caùc pt sau:
1)

x+ x - x- x =
2
x+ x
10)
2
2
2
2
2(1 1 )
− =
+ +
x x
x
;11)
2 2
4 2 4− − + = +x y y x y
(HSG ÑN 2004)
12)
36 4
28 4 2 1
2 1
+ = − − − −
− −
x y
x y
; 13)
4 4 2 2
( 1)+ + + = +ax x x a x a a
;
14)

; 7)
2 2
( 3) 4 9− + ≤ −x x x
8)
2 2
4 3 2 3 1 1− + − − + ≥ −x x x x x
; 9)
2 2
25 7 3− + + >x x x
;
10)
2
2
4
(1 1 )
> −
+ +
x
x
x
;11)
2 2 2
8 15 2 15 4 18 18− + + + − > − +x x x x x x
;
12)
2 2
1 1 2
x+ + x- >
x x x
;13)

o
b)Phương pháp 2:Đặt ẩn phụ đưa về pt-bpt:Ta thường đặt ẩn phụ cho
Các biểu thức đồng dạng
Ví dụ 1:Giải các pt sau
1)
2
(x+5)(-x)=3 x +3x
; 2)
3+x + 6-x =3+ (3+x)(6-x)
; 3)
2
2
1 1
3
x x x x+ − = + −
4)
2x+3+ x+1=3x+2 (2x+3)(x+1)-16
; 5)
2
9 9 9x x x x+ − = − + +
;6)
2 2
11 31x x+ + =
; 7)
1
( 3)( 1) 4( 3) 3 0
3
x
x x x
x

14)
2 2
( 4) 4 ( 2) 2x x x x x− − + + − =
; 15)
3 3
3 3
35 ( 35 ) 30x x x x
− + − =
16)
2 2 2 2
3x -1+ x -x -x x +1= x(x +2)(5x-1)
;17)
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −
;
18)
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
;19)
3 2 4
1 1 1 1x x x x x− + + + + = + −
19)
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
Ví dụ 2:Giải các bpt sau:
1)
+ + > − −
2 2

8)
2 2
2 2
2
1 5 1
( ) 2 0
1 2
1
−
+ + + + >
−
−
x x x
x x x
x
; 9)
5 1
5 2 4
2
2
+ < + +x x
x
x
;
10)
12 2 82
(12 ) ( 2)
2 12 3
− −
− + − <

4 4
1+x 1-x
1-m + 1+m =2 1-m
1-x 1+x
; 8)
2 2 2
x +2x+m 5-2x-x = m
;9)
x+1
(x-3)(x+1)+4(x-3) =m
x-3
c)Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ pt
Các dạng thường gặp
*
n
n
x +b=a ax-b
đặt t=
n
ax-b
*
n m
a-f(x)± b+f(x)=c
đặt u=
n
a-f(x)
;v=
m
b+f(x)
ta có:

3
2 4
2
+
+ =
x
x x
; 8)
2
2 15
8 8 5
16
+
+ − =
x
x x
9)
2
4
2 8 6
2
+
+ + =
x
x x
; 10)
2 2
2
1-x =( - x )
3

;3)
2
2 2+ + = + +x m x x m
4)
3 6 (3 )(6 )+ + − − + − =x x x x m
d)Một số phương pháp khác:
Nếu
( ) ; ( )≥ ≤f x k g x k
thì pt: f(x)=g(x)
⇔

( )
( )
=
=
f x m
g x m
Ví dụ 1:Giải các pt sau:
1)
2
2 4 6 11− + − = − +x x x x
; 2)
2
4 1 4 1 1− + − =x x
;3)
2 2 2
1 1 2+ − + − + = − +x x x x x x
4)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4− + − − = − − − − +x x x x x x x