PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ - TOÁN 12

Bài tập đề nghị .
Giải các phương trình sau
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
 
    
 

4 4 4
1 1 2 8
x x x x      

4 4 4
2 8 4 4 4 4
x x x
    

4 33
16 5 6 4
x x x
  

3` 2
4

u x y v x y
 
 
khi
đó ta có


   
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
u v u v x x y y x y x y
          
   

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ
,
u v
 
cùng hướng
1 1
2 2
0
x y
k
x y
   
, chú ý tỉ số phải dương

. . .cos .

Bài tập
1)




2 2 2
2 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 3
x x x x x x
          

2)
2 2
4 5 10 50 5
x x x x
     

IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu
 Dựa vào kết quả : “ Nếu


y f t
 là hàm đơn điệu thì




f x f t x t
  

x x x x x
     

Từ phương trình




1 3 1
f x f x
  
thì bài toán sẽ khó hơn




3 2
2 7 5 4 2 3 1 3 1
x x x x x
     

Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :
Đặt
3 1
y x
 
khi đó ta có hệ :
3 2 3
2
2 7 5 4 2





2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x
       

Giải:
   


   


   
2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3
x x x x f x f x
             

Xét hàm số
 


2
2 3
f t t t
  

   

     

  



Xét hàm số :


3
f t t t
 
, là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình
     
23
5
1 1 1 7 9 4
1 5
2
x
f y f x y x x x x
x



            
 
 

t x

và một
số y với


0;
y

 sao cho
cos
x y


 Nếu
0 1
x
 
thì có một số t với
0;
2
t

 

 
 
sao cho : sin
t x


x
,
y
là hai số thực thỏa:
2 2
1
x y
 
, thì có một số t với
0 2
t

 
, sao cho
sin , cos
x t y t
 

Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :
 Nếu :
1
x

thì đặt sin
t x

với
;
2 2
t


 
 
hoặc
cos
x y

, với
0;
2
y

 

 
 

 Nếu :
x
,
y
là hai số thực thỏa:
2 2
1
x y
 
, thì đặt
sin , cos
x t y t
 

 
 
  
 
 

Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ?
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện


x f t
 thì phải đảm bảo với
mỗi
x
có duy nhất một
t
, và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem
lại vòng tròn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế
nào ?
Từ công phương trình lượng giác đơn giản:
cos3 sin
t t

, ta có thể
tạo ra được phương trình vô tỉ
Chú ý :
3
cos3 4cos 3cos
t t t

Bài 1. Giải phương trình sau :
   
2
3 3
2
2 1
1 1 1 1
3
3
x
x x x

 
      
 
 

Giải:
Điều kiện :
1
x


Với
[ 1;0]
x
 
: thì
   
3 3


Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
 
    
 
HD:
1 2cos
tan
1 2cos
x
x
x




2)


2 2
1 1 1 2 1
x x x
    

x x x x
    

Xét :
1
x

, đặt


cos , 0;
x t t

  . Khi đó ta được
5 7
cos ;cos ;cos
9 9 9
S
  
 

 
 

mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập
nghiệm của phương trình.
Bài 4. .Giải phương trình
2
2
1

1
1 cot 1
1
sin
sin2
2
t
t
x
t



  

 


Phương trình có nghiệm :


2 3 1
x
  

Bài 5 .Giải phương trình :


 
2

  
 
 

Khi đó pttt.


2
2sin cos2 cos2 1 0 sin 1 sin 2sin 0
t t t t t t
      

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm
1
3
x Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau
 
3
3 2 2
1 2 2
x x x x
   

2
2 2 30 2007. 30 4 2007 30. 2007
x x x   

x x x x
    

4 3 10 3 2
x x
   
(HSG Toàn Quốc
2002)








2 2 5 2 10
x x x x x
     

23
4 1 2 3
x x x
    

2 33
1 3 2 3 2
x x x
    


x x x
   

3 2
4
4
1 1
x x x x
    

2
4 3 3 4 3 2 2 1
x x x x x
     3 2 4
1 1 1 1
x x x x x
       

 


 
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16
x x x x
      




2 2
3 2 1 1 1 3 8 2 1
x x x x
     

2
12 1 36
x x x
   

 
3 3
4 1 1 2 2 1
x x x x
    

1 1 1
2 1 3
x
x x
x x x

    

2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
      


3
x x x x
  
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình
(*)
0
x D
A B A B
A B


    




Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của
0
A

hay
0
B


(chuyển về dạng 2)
+)


3 3 3 3
3 3
3 .
A B C A B A B A B C
      

và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C
 
ta được phương trình :
3
3 . .
A B A B C C
  

Bài 1: Giải phương trình:
a)
2
1 1
x x
  

b)
2 3 0
x x

( 3) 10 12
x x x x
    

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2
x x m x x
     

Bài 3: Cho phương trình:
2
1
x x m
  

-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình:
2
2 3
x mx x m
   

-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.
-Nếu bài toán có chứa

g x
t


-Nếu bài toán có chứa
( ) ( ); ( ). ( )
f x g x f x g x
 và ( ) ( )
f x g x k
 
khi đó có
thể đặt:
( ) ( )
t f x g x
  suy ra
2
( ). ( )
2
t k
f x g x



-Nếu bài toán có chứa
2 2
a x

thì đặt
sin
x a t

 
 
 
hoặc
cos
a
x
t
 với
 
0; \
2
t


 

 
 

-Nếu bài toán có chứa
2 2
x a

ta có thể đặt
.tan
x a t
 với
;
2 2