PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ - TOÁN 12

5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
 Đặt




,
u x v x
 
  và tìm mối quan hệ giữa


x

và


x

từ đó
tìm được hệ theo u,v
Bài 1. Giải phương trình:


3 3
3 3
25 25 30

{2;3}
x


Bài 2. Giải phương trình:
4
4
1
2 1
2
x x   

Điều kiện:
0 2 1
x
  

Đặt
4
4
2 1
0 2 1,0 2 1
x u
u v
x v

  

      


 
 
  
   

 

 


Giải phương trình thứ 2:
2
2 2
4
1
( 1) 0
2
v v
 
   
 
 
, từ đó tìm ra
v
rồi thay
vào tìm nghiệm của phương trình.
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6
x x
   

1 1 5 1 1 5
2
x x x x x

          
Bài 8. Giải phương trình:
6 2 6 2 8
3
5 5
x x
x x
 
 
 

Giải
Điều kiện:
5 5
x
  

Đặt


5 , 5 0 , 10
u x v y u v      .
Khi đó ta được hệ phương trình:
2
2 2
( ) 10 2

cách đưa về hệ đối xứng loại II
 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :
 
 
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x

  


  



việc giải hệ này thì đơn giản
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt


y f x
 sao
cho (2) luôn đúng ,
2 1
y x
  
, khi đó ta có phương trình :


, ta
sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt
y ax b
 
  
, khi đó ta
có phương trình :
 
2
a
x ax b b

 
 
    

Tương tự cho bậc cao hơn :
 
n
n
a
x ax b b

 
 
    

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về
dạng :


Bài 1. Giải phương trình:
2
2 2 2 1
x x x
  

Điều kiện:
1
2
x


Ta có phương trình được viết lại là:
2
( 1) 1 2 2 1
x x
   

Đặt
1 2 1
y x
  
thì ta đưa về hệ sau:
2
2
2 2( 1)
2 2( 1)
x x y
y y x


2 2
4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11
x x x x x
        

Đặt
2 3 4 5
y x
  
ta được hệ phương trình sau:
2
2
(2 3) 4 5
( )( 1) 0
(2 3) 4 5
x y
x y x y
y x

  

    

  



Với
2 3 4 5 2 3
x y x x x       

    

Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :
2
13 33
2 3 1
4 4
x x
 
   
 
 

Đặt
13
2 3 1
4
y x
  
thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà
chúng ta có thể giải được.
Để thu được hệ (1) ta đặt :
3 1
y x
 
  
, chọn
,
 
sao cho hệ





Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của
chúng ta là có nghiệm
x y


Nên ta phải có :
2 2
2 3 1
4 13 5
  
 
 
 
 
, ta chọn được ngay
2; 3
 
  

Ta có lời giải như sau :
Điều kiện:
1
3
x
 
, Đặt

Với
11 73
2 2 5 0
8
x y x

    
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là:
15 97 11 73
;
8 8
 
 
 
 
 
 Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay
;
 
bằng cách viết
lại phương trình
ta viết lại phương trình như sau:
2
(2 3) 3 1 4
x x x
     


y g x
 thay vào (1) ta được phương
trình
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược
và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.
Một số phương trình được xây dựng từ hệ.
Giải các phương trình sau
1)
2
4 13 5 3 1 0
x x x
    2)
2
4 13 5 3 1 0
x x x
    

3)
3 2
3
4
81 8 2 2
3
x x x x
    

4)

3 2
3 3
27 81 8 27 54 36 54 27 81 8 3 2 46
x x x x x x
          

Ta đặt :
3
3 2 81 8
y x
  

Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này !

III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1. Dùng hằng đẳng thức :
 Từ những đánh giá bình phương :
2 2
0
A B
 
, ta xây dựng phương
trình dạng
2 2
0
A B
 

Từ phương trình


x
là nghiệm
của phương trình
A B


Ta có :
1 1 2
x x
   
Dấu bằng khi và chỉ khi
0
x

và
1
1 2
1
x
x
  

,
dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình:
1
1 2008 1 2008 1
1
x x x
x
     

 Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ
dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không
được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được
Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
2 2
9
1
x x
x
  


Giải: Đk
0
x


Ta có :
 
2 2
2
2 2 1
2 2 1 9
1
1 1
x
x x x
x
x x
 

1 1
x
  

Biến đổi pt ta có :


2
2 2 2
13 1 9 1 256
x x x   
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:


 
   
2
2 2 2 2 2
13. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10
x x x x x
         

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
 
2
2 2
16
10 16 10 64
2
x x


 



 
 




Bài 3. giải phương trình:
3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
     

Ta chứng minh :
4
8 4 4 13
x x
  
và




2
3 2