PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ - TOÁN 12

Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6
x x
   

Điều kiện:
1 6
x
 

Đặt
1( 0)
y x y
  
thì phương trình trở thnh:
2 4 2
5 5 10 20 0
y y y y y
       
( với
5)
y 
2 2
( 4)( 5) 0
y y y y
     
1 21 1 17
,


2
2
2 1 1002 0 1 0
y y y y x
        

Bài 5. Giải phương trình sau :
2
1
2 3 1
x x x x
x
   

Giải:
Điều kiện:
1 0
x
  

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:
1 1
2 3x x
x x
   

Đặt
1
t x

, Ta có :
3
2 0
t t
   
1 5
1
2
t x

  

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
2 2
15 2 5 2 15 11
x x x x
    

2
( 5)(2 ) 3 3
x x x x
   

2
(1 )(2 ) 1 2 2
x x x x
    
2 2
17 17 9

1 2 1 3
x x
   
Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết
được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với
t
lại quá khó
giải
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biết cách giải phương trình:
2 2
0
u uv v
 
  
(1) bằng
cách
Xét
0
v

phương trình trở thành :
2
0
u u
v v
 









. .
a A x bB x c A x B x
 
Như vậy phương trình




Q x P x

 có thể giải bằng phương pháp trên
nếu






     
.P x A x B x
Q x aA x bB x
 



4 2 2
1 2 1 2 1
x x x x x
     





4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1
x x x x x
     

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
2 4
4 2 2 4 1
x x x
   

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho
phương trình bậc hai
2
0
at bt c
  
giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình :

Tìm được:
5 37
2
x


Bài 2. Giải phương trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
     

Bài 3: giải phương trình sau :
2 3
2 5 1 7 1
x x x
   

Giải:
Đk:
1
x


Nhận xt : Ta viết
 



4
v u
u v uv
v u



  




Ta được :
4 6
x  

Bài 4. Giải phương trình :
 
3
3 2
3 2 2 6 0
x x x x
    

Giải:
Nhận xét : Đặt
2
y x
 
ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất

Giải:
Ta đặt :
2
2
1
u x
v x




 


khi đó phương trình trở thành :
2 2
3
u v u v
  

Bài 2.Giải phương trình sau :
2 2
2 2 1 3 4 1
x x x x x
     

Giải
Đk
1
2

1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v





  






Do
, 0
u v

.
 
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x


2 2
2 5 2 20 1
x x x x x
 
      

vậy ta không thể đặt
2
20
1
u x x
v x

  

 

.
Nhưng may mắn ta có :











,




2 3 2 3 2 0
x x x x
     

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm
thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào
phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương
pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :


2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
     

Giải:
2
2
t x
 
, ta có :
 
2

  


2
1 1 0
x x t
    

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có

chẵn :
       
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x


             

 
Từ một phương trình đơn giản :






2
3 2 1 4 1 1 0
t x t x
      

Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t




2
2 1 48 1 1
x x
      
không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo




2 2
1 , 1
x x
 
Cụ thể như sau :



. Ta được:
2
9 16 32 8 0
x t x
   

Ta phải tách




2 2 2
9 2 4 9 2 8
x x x
  
    
làm sao cho
t

có dạng chính
phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do
thì sẽ đạt được mục đích
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được
những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ
và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức



7 1 8 8 1 2
x x x x x
       

3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0
x x x x
       

Bài 1. Giải phương trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2
x x x x x x x
        

Giải :
2
3
5
u x
v x
w x

 


 


 


 
, giải hệ ta
được:
30 239
60 120
u x  
Bài 2. Giải phương trình sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
         

Giải . Ta đặt :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2
a x
b x x
c x x
d x x

 


  

3
3 2
4
4
4
4
1 1 1 1
x x x x x x x x
        