Mở đầu.
Hiện nay việc sử dụng máy tính bỏ túi cho phép học sinh có thể tính nhanh giá trị
đúng (hoặc gần đúng) nghiệm của phơng trình ,giúp cho học sinh tránh đợc những
sai sót trong lời giải,kiểm tra nhanh kết quả tìm đợc.
Phơng trình vô tỉ là một trong những dạng bài toán khó đối với học sinh cấp THCS,
trong phần phơng trình nói chung,cả trong chơng trình và trong các bài toán của đề
thi.Đặc biêt là các kì thi HSG và thi vào lớp 10 PTTH.Giải phơng trình vô tỉ nói
chung có nhiều phơng pháp và rất đa dạng.Tuy nhiên đa số các bài toán giải phơng
trình vô tỉ thờng gặp ,học sinh có thể giải đợc bằng cách áp dụng một trong những
phơng pháp sau.
Một vài phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
dạng đơn giản.
I.Phơng pháp nâng lên lũy thừa
1. Ví dụ 1.
Giải phơng trình
X +
x 1

= 7
Lời giải:
X +
x 1

=7 (1)
ĐK: x 1 (*)
(1)

x 1

=7 x (2).
ĐK:x 7 (**)

-
1 ) ALPHA = 7
*Bớc2.Lệnh cho máy giải nh sau :

( +
_
1
)
7
SHIFT SOLVE
=
SHIFT SOLVE
Tiếp tục:
SHIFT SOLVE SHIFT SOLVE
lặp lại lệnh trên vơí các nghiêm thứ nhất và thứ 2,,thứ n,để máy tính
giải
*Bớc3.Chờ cho máy giải xong và lấy kết quả,so sánh với đáp số của lời giải.
Máy tính cho kết quả phơng trình chỉ có một nghiệm duy nhất X = 5

Ghi nhớ là : Phơng trình bậc n nếu có nghiệm ,thì sẽ có không quá n nghiệm.
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ:
1.Dùng ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
Ví dụ1.
Giải phơng trình
1
2

xx
+
1

1
(1) có dạng:
t +
t
1
= 2. (2)
(2)

t
2
- 2t +1 = 0

t =1

1
2

xx
=1

x - 1 =
1
2

x

1- 2x + x
2
= x
2

x
= 1 (1)
ĐK : x -1 (*)

x
2
-1+
1
+
x
=0

(x+1)(x-1) +
1
+
x
=0

(x+1)(x+1-2) +
1
+
x
=0
Đặt
1
+
x
= t
ĐK: t 0
(1)

4
=
2
51

(loại)
S =
{
0 ; -1 ;
}
2
51

.
Kết quả của máy tính là :
Một nghiệm X
1
= 0 và hai nghiệm âm.
X
2
=-1 ;
x
3
- 0,618033908 (giá trị gần đúng của
}
2
51

b.Sử dụng 2 ẩn phụ đa về phơng trình tích
Ví dụ 1.


(1)


U
2
= x + 1

V
2
= x
2
x + 1

(2u-v)(u-2v) = 0

hoặc u = 2v ,hoặc v = 2u
với u = 2v

1
+
x
= 2
1
2
+
xx

4x
2

S =



+
2
375
;
2
375
Kết quả Máy tính cho hai nghiệm là :
X
1
= 5,541381265
2
375
+
X
2
= - 0,541381265
2
375

4.Sử dụng ẩn phụ đa về phơng trình đẳng cấp
Ví dụ 1
Giải phơng trình
2x
2
- 3x + 2 = x.
23

2x
2
-y
2
= xy (2), Có hai cách giải phơng trình (2)
*Cách 1 :Đặt y = tx.
(2)

2x
2
-t
2
x
2
= tx
2

x
2
(2-t
2
-t) = 0

t
1
=1
t
2
=- 2
*Với t

Giải phơng trình bậc 2 đối với ẩn y ;
(2)

y
2
+ xy -2x
2
= 0 . (3)

hoặc y
1
= x hoặc y
2
=- 2x (loại)
+ Với y
1
ta có x
1
= 1 ; x
2
= 2
Vậy S =
{ }
2;1
Kết quả Máy tính cũng cho hai nghiệm là :
X
1
= 1
X
2

- 2.a.x
2
+ x
4
. (2)
(2)

a
2
(2x
2
+ 1).a + x
4
x = 0. (3)
Giải phơng trình bậc hai với ẩn a ta đợc hai nghiệm:
Hoặc a
1
= x
2
+ x + 1
*ĐK : (*) và (**) ; ta có : x
2
+ x + 1 a = 0. (I)