THEÁ LÖU
CHÖÔNG 6
THEÁ LÖU
dòng chảy phẳng, lưu chất lý tưởng không nén được chuyển động ổn đònh
Giới hạn:
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Hàm thế vận tốc:
Ta đònh nghóa hàm ϕ sao cho:
θ∂
ϕ∂
=
∂
ϕ∂
=
∂
ϕ∂
=
∂
ϕ∂
=
θ
r
1
u;
r
uhay
y
u;
x
u
ryx

∂
ϕ∂
=+=
∫
∫∫
⇒
∫∫
ϕ
rr
(1)
Dòng chảy có thế ⇔∃ϕ/thoả đ.k. (1) ⇔
0
xyyx
=






∂
ϕ∂
∂
∂
−






chỉ phụ thuộc vào giá trò hàm thế tại A và B.
Rõ ràng từ chứng minh trên,
∫
B
A
dsu
r
Vậy:
A
B
n
u
u
n
u
s
0dyudxu0d
yx
=+⇔=ϕ
2. Phương trình đường đẳng thế:
3. Ý nghóa hàm thế vận tốc:
ABAB
ϕ−ϕ=Γ
∫
=Γ
B
A
sAB
dsu
là lưu số vận tốc



∂
ϕ∂
∂
∂
+






∂
ϕ∂
∂
∂
⇔=
∂
∂
+
∂
∂
⇔ Hàm thế thoả phương trình Laplace
5. Hàm dòng:
Khi dòng chảy lưu chất không nén được tồn tại, thì các thành phần vận tốc của nó
thoả ptr liên tục :
r
u;
r

θ
ψ gọi là hàm dòng.
Như vậy ψ tồn tại trong mọi dòng chảy,
còn ϕ chỉ tồn tại trong dòng chảy thế.
6. Hàm dòng trong thế phẳng:
Vì là dòng chảy thế nên:
0
yx
0
yyxx
0
y
u
x
u
2
2
2
2
x
y
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⇔=



0d0dx
x
dy
y
0dxudyu
yx
=ψ⇔=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⇔=−
x
y
O
n
n
x
n
y
dx
dy
ds
α
αα
α
(-dx=ds.sinα
αα
α)

A
nAB
ddx
x
dy
y
dxudyu
dssinudscosudsnudsnudsnudsuq
rr
Vậy:
ABAB
q ψ−ψ=
9. Sự trực giao giữa họ các đường dòng và đường đẳng thế:
0)u(u)u(u
yyxx
xyyx
=+−=
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
+
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
Suy ra họ các đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau.
10. Cộng thế lưu:
...
...

ϕ
ϕϕ
ϕ=1
ϕ
ϕϕ
ϕ=2
ϕ
ϕϕ
ϕ=3
ψ
ψψ
ψ=0
ψ
ψψ
ψ=1
ψ
ψψ
ψ=2
ψ
ψψ
ψ=3
ψ
ψψ
ψ=-1
V
0
α
αα
α
1. Chuyển động thẳng đều: từ xa vô

ϕ
ϕϕ
ϕ=-1
ϕ
ϕϕ
ϕ=-2
ϕ
ϕϕ
ϕ=-3
ψ
ψψ
ψ=-3
ψ
ψψ
ψ=-2
ψ
ψψ
ψ=-1
Vậy: ψ = V
0
ycosα - V
0
xsinα
Tương tự: ϕ = V
0
xcosα + V
0
ysinα
Biễu diễn bằng hàm thế phức:
F(z) = ϕ+iψ = (V

2
q
1rkhi0chọn;C)rln(
2
q
dr
r2
q
drudrudruddr
r
d
22
rr
+
π
=
π
=ϕ⇒
==ϕ+
π
=ϕ⇒
π
==θ+=θ
θ∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ
θ

y
arctg
2
q
2
q
0khi0chọn;C
2
q
drudrudruddr
r
d
0u
r2
q
u
rr
r
=
Hàm dòng:
Hàm thế vận tốc:


yqq
ψ
ψψ
ψ=(q/4)





π
=θ
π
=ψ
θ
θ
zlnazln
2
q
)reln(
2
q
)elnr(ln
2
q
)ir(ln
2
q
)z(f
)yxln(
4
q
)rln(
2
q
x
y
arctg
2

) ; tại vò trí nào có biến y phải thay bằng (y-y
0
).
3. Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc
∫
==Γ
C
constdsu
r






















==
=
π
ππ
π
Γ
ΓΓ
Γ−
−−
−
=
==
=
θ
θθ
θ+
++
+
π
ππ
π
Γ
ΓΓ
Γ
−
−−
−=
==
=−
−−

ΓΓ
Γ−
−−
−
=
==
=ψ
ψψ
ψ


















π
ππ
π








=
==
=
π
ππ
π
Γ
ΓΓ
Γ
=
==
=
=
==
=
θ
θθ
θ
θ
θθ
θ
zlnazln
2

O
ψ
ψψ
ψ
ϕ
ϕϕ
ϕ=0
ϕ
ϕϕ
ϕ=Γ
ΓΓ
Γ/4
ϕ
ϕϕ
ϕ = Γ
ΓΓ
Γ/2
ϕ
ϕϕ
ϕ=3Γ
ΓΓ
Γ/4
Γ
ΓΓ
Γ>0: xoáy dương
Ghi chú:
Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ;
Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ;
Tương tự, ta có trên đây là xoáy đặt tại O(0,0).
Muốn biễu diễn cho xoáy có tâm đặt tại điểm






ε
−
π
=






















π
=












ε
−
−
ε
+
π
=θ−θ
π
=ψ+ψ=ψ
2
2
2
hnhn
yx
2
xy




+
ε
−
π






















ε

1
2
Khi ε→0 tử số trong dấu arctg tiến tới 0 nên ta có thể viết:
22
0
2
2
22
2
2
yx
y
2
m
y
4
x
y
2
q
y
4
x
2
xy
2
xy
2
q
+




+
ε
−






ε
+−






ε
−
π
=ψ